Frage zu einem Problem mit Ungleichungen

Question

Ich stecke derzeit in diesem Ungleichheitsproblem fest:

Bisher habe ich versucht, dies durch einen kontrapositiven Beweis zu beweisen, aber das scheint nicht zu funktionieren. Könnte ich einen Hinweis bekommen, wie ich vorgehen soll?

Answer 1

Nicht wirklich nur ein Hinweis, aber Sie können nach der folgenden Zeile aufhören zu lesen und überlegen, sich selbst zu vervollständigen. $$\frac{bc-ad}{bd} = \frac{c}d-\frac{a}b = \left(\frac{c}d-\frac{p}q \right) + \left(\frac{p}q-\frac{a}b \right)\geqslant \frac1{dq}+\frac1{bq}$$ da jeder Term in den Klammern positiv ist.

$$\implies q \geqslant \frac{b+d}{bc-ad} $$

Ebenso in Anbetracht $\displaystyle \frac{d}c<\frac{q}p<\frac{b}a$ gilt auch, müssen wir haben $p \geqslant \dfrac{a+c}{bc-ad}$

Übrigens wird die "niedrigste" solche Fraktion als Mediant bezeichnet $= \dfrac{a+c}{b+d}$.