Frage zu endlichen Feldern

Question

Ich komme aus Brasilien, daher ist mein Englisch nicht das Beste. Es tut mir leid, wenn etwas nicht stimmt. Ich benutze$|F_q|$ für den Kardinal des Feldes.

ich habe $\mathbb{F}_q$ ein endliches Feld der Charakteristik $p$ und Kardinal $q$, $p$ ist eine Primzahl und $q$ ist eine Kraft von $p$.

Es ist eine sehr lange Übung, das habe ich schon gezeigt $p=2$ $\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_q^2$ und für $p\neq2$ Ich zeige das $|\mathbb{F}_q^{*^2}|=\frac{q-1}{2}$ und $|\mathbb{F}_q^2|=\frac{q+1}{2}$.

Dann habe ich die Eigenschaften gezeigt:

$x\in \mathbb{F}_q^* \Longrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}=\pm 1;$

$x \in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}= 1;$

$-1\in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow q-1\equiv 0$ (mod $4$).

Jetzt habe ich Probleme, dies zu zeigen:

Wenn $-1$ und $x$ sind keine Quadrate von $\mathbb{F}_q^*$, dann $-x$ ist ein Quadrat von $\mathbb{F}_q$.

Und außerdem habe ich Probleme, das auf dem Feld zu zeigen $\mathbb{F}_p$, nehme an, dass $$A=\{ -x^2; x\in \mathbb{F}_p \} \quad \text{and} \quad B=\{ 1+y^2;y \in \mathbb{F}_p \}$$

Das muss ich zeigen $|A|=|B|=\frac{p+1}{2}$und daraus ableiten $x$ und $y$ im $\mathbb{F}_p$ so dass $$1+x^2+y^2=0$$ und existieren $a$ und $b$ $$p|1+a^2+b^2.$$

Answer 1

Durch das, was Sie bereits bewiesen haben $(-1)^{(q-1)/2}= -1$. Deshalb$(q-1)/2$ist ungerade. Ebenfalls$x^{(q-1)/2}=-1$. Aber dann$(-x)^{(q-1)/2}=(-1)^{(q-1)/2}(x)^{(q-1)/2}=1$Also noch einmal durch das, was Sie bewiesen haben, $-x$ist ein Quadrat. QED

Ein Beweis für den Rest der Frage - für jede ungerade Primmacht $q=p^n$. Die multiplikative Gruppe$\Bbb{F}_q^*$ ist Abelianer der Ordnung $q-1$. Die Karte$x\mapsto x^2$ist ein Homomorphismus. Sein Kernel ist$\{x\mid x^2=1\}=\{-1,1\}$ von Ordnung 2 weil $1\ne -1$ schon seit $q$ ist ungerade, daher hat das Bild (die Menge aller Quadrate ungleich Null) die Größe $(q-1)/2$. Dann das Set$S$ aller (einschließlich Null) Quadrate von $\Bbb{F}_q$ ist von Größe $(q-1)/2+1=(q+1)/2$. Dann das Set$A$ und das Set $B$ sind von gleicher Größe: das Set $A$ wird erhalten von $S$ durch Hinzufügen der $-$ Zeichen für jedes Element, die Menge $B$ wird durch Zugabe erhalten $1$ zu jedem Element von $S$. Wenn$A$ und $B$ kreuzte sich dann nicht $A\cup B$ würde enthalten $q+1$ Elemente $>|\Bbb{F}_q|$. Daher$A\cap B$ist nicht leer. Daher gibt es$x, y$ so dass $-x^2=1+y^2$ oder $1+x^2+y^2=0$ was bedeutet $1+x^2+y^2\equiv 0\mod p$.