Funktion ist trivialer Endomorphismus

Question

Ich lese ein Lehrbuch über Repräsentationstheorie, das Folgendes sagt.

$G$ ist eine endliche Gruppe mit irreduzibler Repräsentation $\rho:G\to GL(V)$ über Feld $k$ (Möglicherweise algebraisch geschlossen, es wird davon ausgegangen, dass alle Felder algebraisch geschlossen sind, was ich nicht sicher bin, erstreckt sich auf diese Seite im Buch). $\phi$ ist eine Klassenfunktion von $G$ zu $k$ befriedigend $(\phi,\chi_\rho)=0$. Definieren$$T=\frac{1}{\#G}\sum\limits_{g\in G}\phi(g^{-1})\rho_g.$$ Der Text behauptet das $T=0$. Ich bin mir nicht sicher, wie ich das sehen soll. Ich verstehe warum$T\in End_GV$, also wenn $k$ ist algebraisch geschlossen, dann können wir es mit einem Element von identifizieren $k$ (und unabhängig davon $End_GV$ ist ein Teilungsring (nach Schurs Lemma), aber ich verstehe nicht warum $T$ muss sein $0$.

Fehlt mir hier etwas? Danke im Voraus.

Answer 1

Ich nehme an, Sie befinden sich in der Charakteristik Null.

Wie du sagst, $T$ ist eine Skalarmatrix (Schur-Lemma).

Die Spur von $T$ ist $$\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\textrm{Tr}(\rho_g)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\chi_\rho(g)=(\phi,\chi_\rho)=0.$$ Wie $T=\lambda I$ und hat dann Spur Null $\lambda=0$.

Answer 2

Annehmen $T=aI$ ist ein skalares Vielfaches der Identitätskarte.

Spuren nehmen Erträge $\mathrm{tr}(T)=(\dim V)a=(\phi,\chi)=0$, so $a=0$.

(Ich nehme an $\dim V$ ist im Basisfeld invertierbar.)