ganz normaler Raum

Question

Wenn $X$ ist ein topologischer Raum von Hausdorff, das sagen wir $X$ ist völlig normal, wenn für jeden geschlossenen Satz $A$gibt es eine stetige Funktion $f_A:X\rightarrow[0,1]$ so dass $f_A^{-1}(0)=A$.

Beweisen Sie, dass ganz normale Räume normal sind.

Meine Anstrengung: Angenommen $A$ und $B$sind zwei disjunkte geschlossene Menge. Definieren$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ dann und nur dann, wenn $x\in A$, und $g(x)=1$ dann und nur dann, wenn $x\in B$.

Solange ich beweisen kann $g:X\rightarrow [0,1]$ist kontinuierlich, ich bin fertig. Aber ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass es kontinuierlich ist.

Answer 1

Eine andere Möglichkeit kann sein, Ihre Karte zu sehen $g$ als folgende Zusammensetzung

$g=G\circ (f_A,f_B)$ wo

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

und

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

wo $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Und die Karte ist $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

das ist Continuos auf seiner Domain. Diese Karte ist eine Fortsetzung für die gleiche Argumentation von Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ und $f_A(x)+f_B(x) = 0$ dann und nur dann, wenn $f_A(x)=f_B(x)=0$ dann und nur dann, wenn $x \in A$ und $x\in B$das ist unmöglich. Daher$g$ist das Verhältnis zweier stetiger Funktionen, bei denen der Nenner niemals verschwindet. Dies impliziert das$g$ ist kontinuierlich.