Geometrieproblem - IOQM

Question

Im $\triangle ABC$, $AC = BC$, $\angle C=20^{\circ}$, $M$ ist auf der Seite $AC$ und $N$ ist auf der Seite $BC$, so dass $\angle BAN=50^{\circ}, \angle ABM = 60^{\circ}$. Finden$\angle NMB$ in Grad.

Es ist eine Frage auf INMO-IOQM-Ebene und ich kann sie sowieso nicht lösen. Bitte helfen Sie. Ich versuchte es durch Winkeljagd, aber ohne Erfolg.

Answer 1

Trigonometrische Lösung

Lassen $\angle NMB=\alpha$

$\dfrac{BN}{\sin\alpha}=\dfrac{MB}{\sin(160-\alpha)}$,$\triangle NMB$,und, $\dfrac{AB}{\sin40}=\dfrac{MB}{\sin 80}$, $\triangle AMB$ (Sinussatz)

Schon seit $AB=BN$, dann

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin(160-\alpha)}=\dfrac{\sin40}{\sin 80}=\dfrac{1}{2\cos40}$

$\sin(160-\alpha)=2 \sin\alpha \cos40=\sin(\alpha+40)+ \sin(\alpha-40)$

$\sin(160-\alpha)- \sin(\alpha-40)=\sin(\alpha+40)$

$2\cos60 \sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

$\sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

1. Fall

$100-\alpha=\alpha+40 \implies \alpha=30$

1. Fall

$100-\alpha+\alpha+40=180 \implies 140\not=180$ , N / A

Answer 2

Nehmen Sie einen Punkt P auf AC zwischen A und M, so dass $\angle ABP=20$

Daher $BA=BP$

$\angle PMB= \angle PBM= 40$

Daher $PB=PM$

$\angle BAN= \angle BNA= 50$

Daher $BA=BN$

So $\triangle BPN$ ist gleichseitiges Dreieck

$PN=PM$ und $\angle MPN=40$

Schließlich

$\angle PMN= \angle PNM= 70$

$\angle NMB= 30$