Geometrische Interpretation der Matrix $A-B$

Question

Gibt es eine geometrische Interpretation der Subtraktion zweier Matrizen mit einem Sonderfall von $I -A$ (Subtraktion einer Matrix von der Identitätsmatrix)?

Referenz: Wenn $A$ ist eine idempotente Matrix, deren Bereich $A$ und die Reichweite von $I-A$sind disjunkte Mengen. Ich versuche es geometrisch zu verstehen.

Wenn jemand den allgemeinen Fall der Matrixsubtraktion geometrisch erklären kann, ist dies eine gute Hilfe.

Answer 1

Ich glaube nicht, dass es eine allgemeine Antwort dafür gibt $A-B$, aber im Fall von $I-A$genauer im Fall von $Q=I-P$ wo $P$ ist eine orthogonale Projektionsmatrix (dh eine idempotente Matrix, wie Sie sagen) auf einem bestimmten Unterraum $S$, dann $Q=I-P$ ist die orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement $S^{\perp}$ von $S$.

Betrachten Sie beispielsweise in 3D die Linie $S$ mit Gleichungen $x=y=z$mit normiertem Einheitsvektor $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Die orthogonale Projektionsmatrix auf$S$ ist die Rang-Eins-Matrix (Rang Eins, weil der Bereichsraum eindimensional ist):

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

und

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

ist die orthogonale Projektion auf die Ebene $S^{\perp}$ orthogonal zu $S$ mit Gleichung $x+y+z=0$, (mit einer Rang-2-Matrix, da der Bereichsraum jetzt zweidimensional ist).