Gesetzesbruch durch die Zahlen

Question

Special Agent Benford wurde durch einen dritten ungelösten Fall von missbräuchlicher kreativer Buchhaltung behindert und wird freiwillig aus der Task Force für betrügerische Zahlen ausscheiden. Benfords Fähigkeit, gefälschte Hauptbücher durch bloßes Zählen der ersten Ziffern numerischer Einträge zu erkennen, ist so bekannt, dass ein Gesetz den Namen unseres niedergeschlagenen Helden trägt.

Benfords Gesetz : Auf einem ehrlichen Buchhaltungsblatt sollte die erste Ziffer von fast 1⁄3 aller numerischen Einträge "1" sein, viel häufiger als "2" oder eine andere Ziffer. Die Anzahl der Zahlen jeder ersten Ziffer entspricht einem abnehmenden Muster, wobei '9' die erste Ziffer der wenigsten Zahlen ist.

Diese Methode hat Benford über Jahrzehnte hinweg gute Dienste geleistet, da skrupellose Buchhalter meistens mit Dezimalzahlen jonglierten . Im Laufe der Jahre blieben jedoch zwei Fälle ungerissen, da es sich um andere Nummerierungssysteme handelte. Alle positiven ganzen Zahlen sind verdächtig.

1. Ungelöster Fall Eins. Benford erkannte das älteste bekannte Nummerierungssystem und wusste, dass seine ersten Ziffern nicht zu einer Verurteilung führen würden.

2. Ungelöster Fall Zwei. Benford erkannte dieses Nummerierungssystem als eines, das von praktisch allen modernen Computern verwendet wurde, und musste erneut zugeben, dass seine ersten Ziffern frei von Hinweisen waren.

Endlich kam leider der letzte Fall.

1. Ungelöster Fall Drei. Benford war noch nie zuvor auf dieses Nummerierungssystem gestoßen, aber als er die Einträge sah, wurde ihm klar, dass auch sie „The Law“ trotzen würden. Bevor Benford aufgab, erfuhr er, dass das gleiche abweichende Nummerierungssystem in wissenschaftlichen Kreisen seit Jahrhunderten, wenn auch selten, gesehen wurde und tatsächlich die Grundlage einiger clever effizienter digitaler Computer war.

Was sind die Nummerierungssysteme der Fälle eins, zwei und drei und warum sind sie so gesetzlos?

Kopfgeld-Herausforderung: In welchem ​​dieser Fälle kann Benfords Nachfolger, Special Agent Successor, erfolgreicher sein, indem die zweiten Ziffern der Einträge gezählt werden? Was wären ihre erwarteten Zahlenfrequenzen?

_{(Kein schlechtes Wortspiel ist im Gange.)}

Answer 1

Ich denke, die Antwort lautet wie folgt.

Fall Eins:

Unary , auch als Tally Arithmetik bekannt. Jede Zahl wird durch eine Anzahl von Symbolen angegeben (normalerweise vertikale Schrägstriche ähnlich der Ziffer 1), daher ist die erste "Ziffer" immer dieselbe. Dies ist natürlich die älteste Zählmethode.

Fall zwei:

Binär . Auch hier ist die erste Ziffer jeder Zahl 1, daher kann das Gesetz von Benford nicht hilfreich sein. Binär ist die Basis für die meisten modernen Computerarchitekturen.

Fall drei:

Ausgeglichenes ternäres . Im ausgeglichenen Ternär sind die Ziffern 1, 0 und -1, und die erste Ziffer jeder positiven Zahl ist immer 1. Es gibt mehrere theoretische Gründe, warum das ausgeglichene Ternär bestimmte mathematische Operationen effizienter macht und anscheinend als Grundlage für einige verwendet wurde Sowjetische Computer in der Vergangenheit.

Bonus:

Ein Blick auf die zweite Ziffer liefert eine statistische Verzerrung in den binären und ausgeglichenen ternären Fällen, jedoch nicht in den unären Fällen. Für den binären Fall ist unter Verwendung einer einfachen Verallgemeinerung der bei Wikipedia bereitgestellten Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Ziffer 0 ist, 0$\log_2(3) -\log_2(2)$, was ungefähr 58,5% entspricht.

Bei einem ausgeglichenen ternären Bereich scheint die Verteilung der zweiten Ziffer der ternären ähnlich zu sein, unterscheidet sich jedoch geringfügig. Um dies zu erreichen, werden wir die ausgeglichene ternäre Verteilung mit der regulären ternären Verteilung in Beziehung setzen. In der regulären ternären Verteilung beginnt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zahl beginnt$n$ (als Ziffernfolge) ist $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Zur Vereinfachung der Darstellung können wir die Zahlen mit weniger als 3 ausgeglichenen ternären Ziffern ignorieren, da es eine endliche Anzahl von Ausnahmen zu den Regeln gibt, die wir aufstellen und die verschwinden, wenn wir über die Unendlichkeit von ganzen Zahlen schauen. Wir werden auch die Symbole verwenden$+$, $\cdot$ und $-$ für unsere ausgeglichenen ternären Ziffern.

Schauen wir uns zunächst den Fall an, in dem sich die zweite Ziffer befindet $-$. Umstellung auf ternär haben wir$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, usw. Somit ist die zweite Ziffer einer ausgeglichenen ternären Zahl$-$ genau dann, wenn die entsprechende ternäre Nummer mit beginnt $12$, $112$, $1112$, $\ldots$;; $20$;; oder$21$mit Ausnahme derer, die mit beginnen $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Um die Wahrscheinlichkeit dieses Auftretens zu ermitteln, addieren wir alle zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus der Benford-Verteilung in den normalen ternären Bereichen. Mit dem Magma-Rechner erhalten wir die ungefähre Wahrscheinlichkeit 46,5%.

Betrachten Sie nun den Fall, in dem sich die zweite Ziffer befindet $\cdot$. Wie oben erfüllen für ausgeglichene ternäre Zahlen, die diese Bedingung erfüllen, die äquivalenten ternären Zahlen$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$usw. Wie zuvor hat eine ausgeglichene ternäre Zahl eine zweite Ziffer $\cdot$ wenn die entsprechende ternäre Nummer mit beginnt $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$;; $22$;; oder$10$, mit Ausnahme derer, die mit beginnen $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von etwa 30,63%.

Für die zweite Ziffer $+$Wir könnten einfach die vorherigen Ergebnisse addieren und von 1 subtrahieren, aber zur Kontrolle berechnen wir es auf die gleiche Weise. Wie oben haben wir$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Somit ist die zweite ausgeglichene ternäre Ziffer$+$ wenn die entsprechende ternäre Nummer mit beginnt $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$;; oder$11$, außer denen, die mit beginnen $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Wie oben summiert sich diese Wahrscheinlichkeit auf 22,87%.

Zum Vergleich betragen die Wahrscheinlichkeiten für zweite Ziffern im normalen ternären Bereich 40,22%, 32,47% und 27,32% für $0$, $1$ und $2$, beziehungsweise.