Gewichtetes Integral einer Faltung

Question

Nach einigen Experimenten scheint mir:

das Integral (im gesamten Bereich) einer Faltung $(f*s)(x)$, Eine Filterfunktion$f(x)$mit aa Signalfunktion$s(x)$Durch eine multiplizierten Gewichtsfunktion$w(x)$,

$$ \int (f*s)(x) \cdot w(x) \, dx $$

, wenn alle Funktionen integrierbar sind ,

ist zu dem Integral der Gleichsignalfunktion$s(x)$gewichtet durch die Kreuzkorrelation $(f\star w)(x)$der Filterfunktion$f(x)$mit der Gewichtsfunktion$w(x)$,

$$ \int (f\star w)(x) \cdot s(x) \, dx $$

Ist das richtig?

Wenn ja, was ist der Beweis?

Wenn nicht, gibt es etwas Ähnliches, mit dem man den Filter und die Gewichtsfunktionen zusammenführen kann, um eine neue Gewichtsfunktion zu erstellen?

Answer 1

Wenn ich mich nicht irre, ändert dies nur die Reihenfolge der Integration (was durch Integrierbarkeitsbedingungen gerechtfertigt sein muss): \begin{align} \int (f*s)(x)w(x) dx & = \int\int f(y-x)s(y)dy\, w(x)dx\\ & = \int\int f(y-x)w(x)dx\, s(y)dy\\ & = \int (f\star w)(y)s(y)dy. \end{align}