GIT und Singularitäten

Question

Lassen $G$ eine komplexe reduktive Gruppe sein, die auf eine komplexe affine Sorte einwirkt $X$ und lass $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ sei der GIT-Quotient.

Gibt es eine Beziehung zwischen dem singulären Ort von $X$ und das von $X // G$?

Natürlich, $X//G$ kann dabei sehr singulär sein $X$ist glatt. Aber zum Beispiel habe ich mich gefragt, ob (oder unter welchen Bedingungen) einzelne Punkte von$X$ werden auf einzelne Punkte von abgebildet $X // G$.

Bearbeiten. Spensers netter Kommentar unten zeigt, dass die Antwort auf Letzteres Nein ist. Aber vielleicht ist eine bessere und genauere Frage: Wenn$X // G$ ist nicht singulär bei $y$Gibt es eine nicht singuläre $x \in X$ Zuordnung zu $y$? Mit anderen Worten, machen Sie alle Fasern von$X \to X // G$ an nicht singulären Punkten enthalten einen nicht singulären Punkt von $X$? Ich bin bereit, Irreduzibilität oder andere schöne Eigenschaften anzunehmen.

Answer 1

Dies ist eine Antwort auf die überarbeitete Frage. Es ist das einfachste Gegenbeispiel, das ich mir vorstellen kann, wo die reduktive Gruppe glatt und verbunden ist, wo$X$ ist normal und affin und wo $Y=X//G$ ist glatt, obwohl es Fasern der Quotientenkarte gibt, die im singulären Ort von enthalten sind $X$.

Lassen $Y$ Sein $\text{Spec}\ k[x,y,z]$dh affin $3$-Platz. Lassen$G$ sei die multiplikative Gruppe von Einheiten, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Lassen$X$ Sein $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ wo $f$ ist das Polynom, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Lassen Sie die Aktion von $G$ auf $X$ definiert werden durch $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ Der Ring von $G$-invariante Polynome ist der Teilring, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ Die Quotientenkarte ist nur die übliche Projektion, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Für die dichten Zariski offen $U = D(xz-y^2)\subset Y$, das umgekehrte Bild $q^{-1}(U)$ ist ein $G$-Torsor vorbei $U$.

Der singuläre Ort von $X$ ist die Single $q$-Ballaststoff, $q^{-1}(0,0,0)$. Auch wenn der Ursprung ein glatter Punkt ist$Y$, jeder Punkt davon $q$-Faser ist ein singulärer Punkt von $X$.