Gleichung für einen Ort

Question

Ich frage mich, wie ich die Gleichung finden soll, die diesen Ort definiert. Kurz gesagt, der Ort ist alle Punkte gleich weit vom nächsten Punkt entfernt$e^x - 1$ wie $(0,1)$. Das Setup in GeoGebra ermöglicht es mir auch, die Funktion, von der es abhängt, leicht zu ändern, was für fast jede Funktion sehr interessante Ergebnisse liefert (für eine gerade Linie erzeugt es eine Parabel).

Answer 1

Die Entfernung von einem beliebigen Punkt $P(x, y)$ am gewünschten Ort zum Fixpunkt $Q(0, 1)$ ist gegeben durch $$PQ^2=x^2+(y-1)^2$$ Die Entfernung vom selben Punkt $P(x, y)$ bis zu einem Punkt $T$ auf der gegebenen Kurve $(t, e^t-1)$ ist gegeben durch $$s=PT^2=(x-t)^2+z^2$$ wo $z=y-e^t+1$ daher $y-1=z+e^t-2$.

Der Punkt $T$ ist am nächsten zu $P$ wann $s$ ist ein Minimum wrt $t$ :: $$\frac{ds}{dt}=2(x-t)(-1)+2z(-e^t)=0$$ $$x=t-ze^t$$

Der gewünschte Ort ist definiert durch $PQ^2=PT^2$ :: $$x^2+(y-1)^2=(x-t)^2+z^2$$

Ersatz zu beseitigen $x, y$ eine Gleichung in lassen $z, t$ :: $$(t-ze^t)^2+(z+e^t-2)^2=z^2e^{2t}+z^2$$ $$t^2-2tze^t+e^{2t}+4-2(ze^t-2z-2e^t)=0$$ $$z=\frac{t^2+(e^t-2)^2}{2[(t-1)e^t+2]}$$

Punktkoordinaten auf dem Ort können in Form von Parametern erhalten werden $t$ und $z(t)$ ::

$$x=t-ze^t, y=z+e^t-1$$