Graph $x = 2 + e^{-\frac{1}{2}x}$

Question

Meine Frage bezieht sich speziell auf Teil 2.

Die Konstante $a$ ist so, dass $$\int_0^a x\mathrm e^{\frac12x}\,\mathrm dx=6\text.$$

1. Zeige, dass $a$ erfüllt die Gleichung $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\text.$$
2. Zeigen Sie durch Skizzieren eines geeigneten Diagrammpaars, dass diese Gleichung nur eine Wurzel hat.
3. Überprüfen Sie durch Berechnung, ob diese Wurzel dazwischen liegt $2$ und $2.5$.
4. Verwenden Sie eine iterative Formel basierend auf der Gleichung in Teil 1, um den Wert von zu berechnen $a$ richtig zu $2$Nachkommastellen. Geben Sie das Ergebnis jeder Iteration an$4$ Nachkommastellen.

Ich habe das Integral erfolgreich in die angegebene Form geändert: $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$$

Nun zum Skizzieren. Ich bin sehr verwirrt darüber, wie ich dieses Diagramm skizzieren soll. Ich kenne den allgemeinen Graphen der Exponentialfunktion, aber in$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$Ich habe keine $y$!

Kann jemand ins Detail gehen? Ich kann das meiste noch nicht mit dem Kopf umwickeln, daher würden mir die Details helfen, Licht zu sehen.

Answer 1

Sie können skizzieren $f(x)=x$. Deutlich$f(0)=0$ und $f(3)=3$.

Nun schauen wir uns an $g(x)=2+e^{-\frac{x}{2}}$. Wir haben$g(0)=3$, $g(3)=2+e^{-\frac{3}{2}}<3,$$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} g (x) = 2 $ und $ \ lim_ {x \ rightarrow- \ infty} g (x) = \ infty. $

Dann ist $ g (0)> f (0) $ und $ g (3) <f (3) $ . Wenn wir also beide Graphen skizzieren, können wir sehen, dass es eine Lösung für $ x \ in (0,3) $ gibt . Siehe hier .

Answer 2

Für Teil (iii) sollten Sie das für finden $g(x) = x - \left(2 + e^{-\frac{1}{2}x} \right)$, $g(2) > 0$ und $g(2.5) < 0$. Verwenden Sie dann IVT, um die Existenz einer Wurzel zwischen anzuzeigen$2$ und $2.5$.