Gravitationspotentialenergie eines $n$-Körper

Question

In meinem CIE A-Level-Kurs wird die potentielle Gravitationsenergie einer Masse in einem Gravitationsfeld als die Arbeit definiert, die geleistet wird, um die Masse von unendlich zu diesem Punkt zu bringen, ohne ihre ke-Energie zu ändern.

Ich dachte über die potentielle Energie der Gravitation nach, wenn ein System aus mehr als 2 Massen besteht. es wäre offensichtlich niedriger, aber ich kann es mit dieser Definition nicht berechnen. Was wäre die richtige Definition des gpe eines$n$-Körpersystem und wie würde es berechnet werden?

PS: Ich weiß, dass es unsinnig ist, gpe einer Masse zu definieren, aber so definieren sie es aus irgendeinem Grund und es funktioniert für ein 2-Körper-System.

Answer 1

Die potentielle Gravitationsenergie eines Systems von $n$Körper wird nach der Formel berechnet, ähnlich der Formel der potentiellen Energie der beiden Körper. Sie müssen nur die Zwei-Körper-Formel für alle Körperpaare anwenden und die Ergebnisse zusammenfassen:$$ E = - \sum_{i=0}^n{\sum_{j=i+1}^n}Gm_im_j/r_{ij}$$

Wieso ist es so? Angenommen, die Formel ist korrekt für$n-1$Körper. Jetzt bringst du$m_n$aus der Unendlichkeit. Zu jedem Zeitpunkt wirkt die gesamte Gravitationskraft auf$m_n$ ist gleich der Summe der Gravitationskräfte, die von einzelnen Massen erzeugt werden $m_i$Die Gesamtarbeit der Gravitationskräfte ist also die Summe der Arbeiten dieser einzelnen Kräfte, also die Gesamtarbeit $E = \sum_{i=0}^{n-1}Gm_nm_i/r_{ni}$.