Grundgruppe von $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$

Question

Ich möchte die Grundgruppe von berechnen $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$Möglicherweise gibt es unter Verwendung des Van-Kampen-Theorems eine andere Quelle auf SE: Ist ein komplexer projektiver Raum einfach verbunden? aber es geht über mein tatsächliches Wissen hinaus.

Es scheint einen großen Unterschied zwischen der Berechnung der realen und der komplexen projektiven Grundgruppe ohne Verwendung von Homologie zu geben, da ich auch kein Material zu klassischen Büchern gefunden habe.

Was ich tun möchte, ist, durch Induktion fortzufahren, da ich das bereits weiß $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$einfach verbunden. Für den induktiven Schritt möchte ich definieren$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$, wo $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ und $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$

ich weiß das $A$ ist homöomorph zu $\mathbb{C}^{n}$es hat also eine triviale Grundgruppe. Das möchte ich beweisen$H$ ist ein Verformungsrückzug von $B$ zu schließen, dass es auch einfach verbunden ist und zu schließen, da die Kreuzung pfadverbunden ist.

Ich weiß nicht wirklich, wie ich die Verformung richtig (dh formal) berechnen soll $H$. Gibt es einfache oder schönere Wege, dies zu tun?

Jede Hilfe, jeder Hinweis oder jede Lösung, für die keine Theorie erforderlich ist, die über die allgemeine Topologie und die Verwendung von Van Kampen hinausgeht, wäre willkommen.

Answer 1

Vielleicht hilft das. Sie können erhalten$\mathbb CP^n$ von $\mathbb CP^{n-1}$ durch Verkleben einer Maßscheibe $2n$ mit der kanonischen Karte $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$. Betrachten wir daher die Situation, die$X$ wird erhalten von $Y$ wie $Y\cup_f e^{2n}$, beginnt um $n=1$. Der Anspruch ist dann, dass wenn$X$ ist dann einfach so verbunden $Y$. In der Tat sollte es folgen, dass die Karte$Y\to X$ wo die Zelle hinzugefügt wird, induziert ein Isomorphismus auf $\pi_1$.

Betrachten Sie dazu eine Schleife $X$. Argumentieren Sie (durch Kompaktheit oder auf andere Weise), dass angenommen werden kann, dass die Schleife mindestens einen Punkt im Inneren von verfehlt$e^{2n}$. Sobald dies erledigt ist, können Sie die Tatsache verwenden, einen Punkt aus zu entfernen$e^{2n}$ ermöglicht es Ihnen, es in zurückzuziehen $Y$und die Schleife in diesem Raum ist kontrahierbar.

Hinzufügen . Die Karte$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$kann hier auch etwas direkter verwendet werden. Es zeigt, dass$ \mathbb CP^n$ ist der Quotient von $S^{2n+1}$ durch die Aktion von $S^1$. Tatsächlich handelt es sich bei dieser Projektion um eine Fibration, und Sie haben eine lange exakte Folge von Homotopiegruppen, die Ihnen eine genaue Beschreibung der Homotopiegruppen von gibt$ \mathbb CP^n$. Siehe hier .