Hamilton-Operator einer Quantenschaltung mit Diode?

Question

• Die LC-Schaltung hat einen Hamilton-Operator: $$\hat{H}={E_L\over2} \hat{\varphi}^2 + 4E_C \hat{n}^2$$
  wo $\hat{\varphi}$ ist der magnetische Fluss und $\hat{n}$ ist die Anzahl der Gebühren.

• Was ist der Hamilton-Operator für die folgende Schaltung?

Answer 1

Ich habe noch nie einen Hamiltonianer für eine Schaltung mit einer Diode gesehen, und ich bezweifle, dass sie existiert oder verwendet wird - aus den Gründen, die ich unten beschreibe. Aus rein akademischer Sicht ist es jedoch eine interessante Frage, darüber nachzudenken.

• Im Gegensatz zu Induktivität und Kapazität, die durch eine lineare Antwort charakterisiert und daher durch quadratische Hamilton-Operatoren beschrieben werden können, ist eine Diode ein nichtlineares Element. Nichtlinearität ist der Struktur der Quantenmechanik fremd, obwohl man darüber nachdenken könnte, sie über einen möglichen Begriff aufzunehmen.
• Die Hamilton-Schaltung für LC-Schaltung ist eigentlich nicht für eine echte LC-Schaltung mit makroskopischer Kapazität und Induktivität geschrieben, sondern für ein mikroskopisches Objekt. Jedes noch so kleine leitende Objekt hat eine gewisse Kapazität und Induktivität, die im Mikromaßstab quantenmechanisch behandelt werden müssen. Auf der anderen Seite ist eine Diode ein im Wesentlichen makrosopisches, von Menschen entwickeltes Gerät - es kommt niemals im Mikro- / Nanomaßstab vor.

Man kann unter dem Gesichtspunkt des physikalischen Inhalts von Variablen argumentieren $\hat{n}$ und $\hat{\varphi}$ - Ersteres ist der Ladungsoperator am Kondensator, während letzteres sein Konjugat (typischerweise Vorspannung der Induktivität) ist, das durch eine Kommutierungsbeziehung in Beziehung steht $$ [\hat{\varphi},\hat{n}]=i $$ (die Koeffizienten $\pm1$ oder $\hbar$in dieser Kommutierungsbeziehung ist eine Frage der persönlichen Wahl). Somit lautet die Bewegungsgleichung für die Ladung, die wir mit dem Strom identifizieren können $$ \hat{I}=\dot{n} = [\hat{n},\hat{H}] = -\frac{E_L}{\hbar}\hat{\varphi}. $$ (Schreiben ebenfalls die EOM für $\varphi$ wir erhalten die Oszillatorgleichung der LC-Schaltung.)

Wenn wir jetzt den Induktivitätsterm durch ein Potential ersetzen $V(\varphi)$, wir haben $$ \hat{H} = 4E_C\hat{n}^2 + V(\hat{\varphi}),\\ \hat{I}=\dot{n} = [\hat{n},\hat{H}] =-\frac{1}{\hbar}\frac{\partial V(\hat{\varphi})}{\partial \hat{\varphi}} $$ Wir können das weiter identifizieren $\hat{I}$mit dem durch die Shokley-Diodengleichung gegebenen Strom und$\hat{\varphi}$ mit der Verzerrung in dieser Gleichung: $$ \hat{I} = I_S\left(e^{\frac{\hat{\varphi}}{nV_T}} -1\right) $$ und Integrieren dieser Gleichung $\hat{\varphi}$ würde uns das Potenzial geben $V(\hat{\varphi})$.

Answer 2

Laut einem meiner Professoren:

Ich bin nicht 100% sicher, aber ich denke, für die ideale Diode sollte es so etwas sein $$ 4 E_C \hat{n}^2 H(\hat{n}) $$ wo $H(\hat{n})$ ist die Heaviside-Schrittfunktion.

Wenn die Ladung negativ ist, wird der Kondensator sofort entladen und die Energie des Systems ist $0$. Wenn die Ladung positiv ist, ist die Energie nur die Energie des Kondensators.

Ich denke er hat absolut recht.

Jetzt frage ich mich, was die Eigenwerte und Eigenzustände für diesen Hamilton-Operator sind.

Oh dumm ich, ich habe gerade gemerkt, dass das, was ich hier habe, wie ein freies Teilchen ist ($V(\hat{\varphi})=0$), mit Ausnahme des Heaviside-Teils. Und ich zitiere Griffith (unter Gleichung 2.82): Es gibt kein freies Teilchen mit einer bestimmten Energie