Hermite-Polynom-Erzeugungsfunktion

Question

Wie würde ich das folgende Polynom in Bezug auf die Hermite-Polynome schreiben, $H_n(z)$? \ begin {Gleichung} P_n (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {[n / 2]} \ frac {n! a ^ k} {k! (n-2k)!} (2a z) ^ { (n-2k)} \ end {Gleichung} Ich habe es bemerkt$H_n(iaz)$ erscheint nah, aber die $a^k$ Faktor ist rätselhaft.

Dieser Ausdruck ergibt sich aus einer Reihenerweiterung der Taylor-Reihe von \ begin {Gleichung} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ 2} \ end {Gleichung} Gibt es eine Menge von Polynomen, die kann gefunden werden aus \ begin {Gleichung} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ m} \ end {Gleichung} wobei$m=2,3,\dots$?

Answer 1

Sie wollen $a^{k+n-2k}=a^{n-k}$ Was ist, wenn Sie das Argument aufnehmen? $(-a)^{n/2}$ und multiplizieren Sie mit diesem Faktor, erhalten Sie $$(-a)^{n/2}H_n((-a)^{1/2}\cdot z)=(-a)^{n/2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2\sqrt{-a}\cdot z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{\frac{2n-2k}{2}}$$ $$=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{n-2k+k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(-2az)^{n-2k}(-a)^k=P_n(-z).$$ Damit $P_n(z)=(-a)^{n/2}H_n(-(-a)^{n/2}z).$