Hessische Matrix konvex, konkav oder beides nicht?

Question

Ich möchte herausfinden, in welchem ​​Bereich eine bestimmte Funktion konvex ist . Um dies herauszufinden, habe ich partielle Ableitungen berechnet und eine hessische Matrix erstellt. Da der Hessische noch Variablen enthält, bin ich mir über die Interpretation nicht sicher. Ich würde gerne mit der Methode der Hauptminderjährigen arbeiten.

Ich möchte diesen Satz verwenden:

Satz: $f(x,y)$ ist genau dann konvex, wenn es $n \times n$ Die hessische Matrix ist für alle möglichen Werte von positiv semidefinit $(x,y)$. Der Hessische ist genau dann positiv bestimmt, wenn er$n=2$ Führende Minderjährige sind positiv.

Meine $2\times 2$ Matrix: $$\begin{bmatrix} 6x+4 & 7855\\7855 & 2\end{bmatrix}$$

Answer 1

Die wichtigsten Minderjährigen sind

1. $6x+4$
2. Die Determinante der vollständigen Matrix, $(6x+4)2 - 7855^2$.

Für welche Werte von $x$sind beide positiv? Das sind die Werte von$x$für die Ihre Funktion (streng) konvex ist. (Beachten Sie, dass Sie im Prinzip nur die Determinante überprüfen müssen, da der Eintrag unten rechts bereits positiv ist ($2$) und Sie können die Zeilen und Spalten so permutieren, dass sie anstelle von oben rechts zum führenden Hauptmoll werden $6x+4$).

In diesem Fall gibt es nur einen einzigen Punkt, an dem das Hessische halbbestimmt ist, sodass Sie sich nicht mit dem halbbestimmten Fall befassen müssen (Sie können den Punkt in die konvexe Menge aufnehmen).