Implizite partielle Ableitungen

Question

Angenommen, ich habe eine Funktion $F(P,V,T) = 0 $. Verwenden der Kettenregel:$$dF = \frac{\partial F}{\partial P}dP + \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT$$ Wenn nun P konstant ist, haben wir $dP = 0$ und $dF = 0$ natürlich weil $F$ist eine Konstante (0). Wir bekommen:$$dF = \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT = 0 \implies (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}}$$Und das ist allgemein wahr? Korrigieren Sie mich, wenn ich mich irre. Nun, wenn wir einen expliziten Ausdruck für haben$P(T,V)$ wir können auch für die Konstante P sagen: $$ (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}}$$ ABER die Ergebnisse sind nicht immer gleich, warum ist das so? Müssen P, V und T unabhängig voneinander sein, damit die erste Ableitung korrekt ist? Ich bin wirklich verwirrt und freue mich über Erklärungen, ohne zu streng zu werden.

Edit: Beispiel (aus der Physik):

Sagen:$$F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$$

Wir können nach P lösen:

$$P = N\left(\frac{K_{B}T}{V-Nb}-\frac{aN}{V^{2}}\right)$$

Wir bekommen jetzt: $$- \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}} \neq - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}} $$

Answer 1

Kurze Antwort

Sie sind die gleichen, auch in Ihrem Beispiel. Sie haben entweder die Algebra falsch gemacht oder am Ende einen wichtigen Schritt vergessen.

Lange Antwort

Ja, deine Gedanken sind richtig. Wenn du schreiben kannst$P$ als Funktion dann für Konstante $P$ befriedigend $F(P,V,T)=0$Wir tun haben$\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dT}=-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}=-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$.

Beispielfall

In Ihrem speziellen Beispiel $F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$ wir können in der Tat lösen $P$ finden $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$.

Dann können wir die beiden Brüche berechnen. Zum$-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}$Wir bekommen so etwas wie $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$. Aber für$-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$ wir bekommen so etwas wie $\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+PV^3}$, was anders aussieht. Aber wir müssen daran denken, den konstanten Wert von zu ersetzen$P$ von $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$. Dann bekommen wir$\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)V^3}$, was bis auf das gleiche vereinfacht $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$.

Sie können die Berechnung mit Wolfram / Mathematica-Code überprüfen:

Wolfram Language (Mathematica) , 458 Bytes

Print[Simplify[Solve[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T == 0, P]]]
Print[Simplify[-D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), T]/D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), V]]]
Print[Simplify[-D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, T]/D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, V]]]
Print["Why Not the same? Substitute in for P."]
Print[Simplify[(kB N V^3)/(a N^2 (2 b N - V) + P V^3) /. P -> N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2)]]

Probieren Sie es online aus!