Infimum des Partitionssatzes

Question

Lassen $A\neq \varnothing$ und bezeichnen mit $\operatorname{Part}(A)$ die Menge der Partitionen von $A$. Zum$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ legen wir fest $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

Lassen $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Zeige, dass$T$ hat ein Infimum in Bezug auf $\leq$.

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Das würde ich eigentlich zeigen wollen $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

Darf ich dies schreiben, ohne das Axiom der Wahl zu verwenden?

Wenn nicht, welchen anderen Weg gibt es, um die Existenz von zu beweisen $\inf T$, wenn überhaupt?

Answer 1

SKIZZE: Für jeden $S\in\operatorname{Part}(A)$ und $a\in A$ Lassen $[a]_S$ sei der Teil von $S$ das beinhaltet $a$. Beachten Sie das$S\le S'$ iff $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ für jeden $a\in A$. Gegeben$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, für jeden $a\in A$ Lassen $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, und lass $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Zeige, dass $C\in\operatorname{Part}(A)$. Es ist klar, dass$\bigcup C=A$Also muss man nur zeigen, ob $a,b\in A$, und $C_a\ne C_b$, dann $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Deutlich $C_a\subseteq[a]_S$ für jeden $S\in T$An dieser Stelle können Sie daraus schließen $C\le S$ für jeden $S\in T$.

• Dann zeige das wenn $L$ ist eine Untergrenze für $T$, dann $L\le C$. Sie können dies tun, indem Sie zeigen, dass wenn$L$ ist eine Untergrenze für $T$, dann muss es wahr sein, dass $[a]_L\subseteq C_a$ für jeden $a\in A$.

Nichts davon erfordert das Axiom der Wahl.

Answer 2

Lassen $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Beachten Sie das $X\in\operatorname{Part}(A)$.

Zunächst zeigen wir das $X\le S$, für alle $S\in T$. Lassen$L\in X$, dann $L=\bigcap_{S\in T} C_S$mit $C_S\in S$. Offensichtlich,$L\subseteq C_S$ für alle $S\in T$, das bedeutet, dass $X\le S$ für alle $S\in T$. Damit$X$ ist eine Untergrenze.

Jetzt zeigen wir das $X$ ist die größte Untergrenze, dh für alle $Y\in\operatorname{Part}(A)$ so dass $Y\le S$ für alle $S\in T$, $Y\le X$. Annehmen$Y$ ist so ein Element, und lassen $M\in Y$. Nun, weil$Y\le S$, für alle $S\in T$, wir haben $M\subseteq C_S$, für einige $C_S\in S$, für alle $S\in T$. Offensichtlich$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$, und $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. Damit$Y\le X$, und $X$ ist das Infimum von $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.