Infimum eines einfachen Sets

Question

Ich kämpfe darum, das Infimum eines einfachen Sets wie zu beweisen $S=\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\;;\;n\in\mathbb{N}\right\}$ Was ich zuerst tun würde, ist das zu bemerken $n\geq 1$ würde das implizieren $2^{n}\geq 2\implies \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\geq \frac{2}{3^{n}}$ und so kann man das sehen $0$ ist das Infimum, aber ich weiß nicht, wie ich die archimedische Eigenschaft hier richtig verwenden soll, um das zu zeigen $0$ ist die größte Untergrenze von $S$.

Answer 1

Der Satz $S$ besteht nur aus positiven Zahlen, so dass keine positive Zahl eine ist $\inf$ (dh für jedes positive $\varepsilon$ Nummer gibt es ein Element von $S$ das ist kleiner als $\varepsilon$). Um zu zeigen, dass man für jeden etwas finden muss$\varepsilon$ dass ein $n$ existiert so, dass $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \le \varepsilon \\ \overset{\ln(\cdot)}{\implies}\quad n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \le \ln(\varepsilon) \quad\overset{(\cdot)/\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\implies}\quad n \ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} $$ Das letzte Ungleichheitszeichen wurde wegen der Division durch umgekehrt $\ln(2/3)$, was negativ ist.

Das heißt, dass die $\inf$in nicht positiv (negativ oder null) Die inf kann nicht negativ sein, da für jedes Negativ ein größeres Negativ als Untergrenze gilt. Es bleibt also Null