Infinitesimaler Übersetzungsoperator

Question

In dem Buch "Modern Quantum Mechanics" (von JJ Sakurai und Jim Napolitano) auf Seite 44 wird der infinitesimale Übersetzungsoperator angegeben: $\mathscr{J}\left(d \mathbf{x}^{\prime}\right)\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle=\left|\mathbf{x}^{\prime}+d \mathbf{x}^{\prime}\right\rangle$ Danach erwähnte das Buch die Eigenschaften des Bedieners als einheitlich und fügte hinzu: $\mathscr{J}\left(d \mathbf{x}^{\prime \prime}\right) \mathscr{J}\left(d \mathbf{x}^{\prime}\right)=\mathscr{J}\left(d \mathbf{x}^{\prime}+d \mathbf{x}^{\prime \prime}\right)$ wo ich verwirrt habe ist das:

$\mathbf{x} \mathscr{J}\left(d \mathbf{x}^{\prime}\right)\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle=\mathbf{x}\left|\mathbf{x}^{\prime}+d \mathbf{x}^{\prime}\right\rangle=\left(\mathbf{x}^{\prime}+d \mathbf{x}^{\prime}\right)\left|\mathbf{x}^{\prime}+d \mathbf{x}^{\prime}\right\rangle$

Die linke Seite der Gleichung ist für mich so seltsam, weil die mittlere direkt von der ersten Gleichung abhängt, aber um auf der rechten Seite der obigen Gleichung eine Bedeutung zu finden, dachte ich, dass dies wahr sein könnte, weil $d \mathbf{x}^{\prime}$ ist unendlich klein, aber wo ist $\mathbf{x}^{\prime}$kam von weil es anfangs war $\mathbf{x}$ auf der rechten Seite der letzten Gleichung.

Answer 1

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage vollständig verstanden habe, aber vielleicht wird es klar, wenn ich erkläre, was die letzte Gleichung bedeutet. Die linke Seite der Gleichung bedeutet:

1. Nehmen Sie einen Staat $|\mathbf{x}'\rangle$
2. Übersetzen Sie es um einen infinitesimalen Betrag $\text{d}\mathbf{x}'$ Verwenden des Übersetzungsoperators
3. Handeln Sie mit dem Positionsoperator darauf, $\mathbf{\hat{x}}$.

Per Definition den Zustand übersetzen $|\mathbf{x}'\rangle$ durch $\text{d}\mathbf{x}'$ gibt Ihnen den Zustand $|\mathbf{x}' + \text{d}\mathbf{x}'\rangle$und auch per Definition (da es sich nun um einen Zustand bestimmter Position mit Eigenwert handelt $\mathbf{x}'+ \text{d}\mathbf{x}'$), wenn Sie in diesem Zustand mit dem Positionsoperator handeln, den Sie erhalten $$\mathbf{\hat{x}} |\mathbf{x}' + \text{d}\mathbf{x}'\rangle = (\mathbf{x}' + \text{d}\mathbf{x}')|\mathbf{x}' + \text{d}\mathbf{x}'\rangle.$$

Hilft das?