$\int_{\Bbb{T}} e_n(\lambda) |\varphi(\lambda)|^2 = 0$ für alle $n \neq 0$ impliziert $|\varphi|^2$ ist fast sicher konstant

Question

Betrachten Sie die Kreisgruppe $\Bbb{T}\subseteq \Bbb{C}$ mit seinem Haarmaß $d \lambda$. Ich habe folgende Situation:$\varphi \in L^2(\Bbb{T})$ hat Norm $1$dh $$\Vert \varphi\Vert_2^2 = \int_\Bbb{T} |\varphi|^2 d \lambda=1$$ Stellen $e_n(\lambda) = \lambda^n, n \in \Bbb{Z}$. Wir haben die folgende Situation$$n \neq 0 \implies \int_\Bbb{T} e_n |\varphi|^2 d \lambda = 0$$

Kann ich das ableiten? $|\varphi|^2$ ist fast sicher konstant?

Versuch: Ich habe versucht, das zu zeigen $|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$, damit $$|\varphi|^ 2 = \sum_{n \in \Bbb{Z}}\langle |\varphi|^2, e_n\rangle e_n= \langle |\varphi|^2, e_0\rangle e_0$$nach dem Satz von Plancherel. Es gelingt mir jedoch nicht, das zu zeigen$|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$

Answer 1

Du hast $g := |\varphi|^2 \in L^1(\mathbb{T})$ und $$\widehat{g}(n) = \int_{\mathbb{T}} g(x) \cdot \overline{x}^n \, dx = \int_{\mathbb{T}} e_{-n}(x) \cdot |\varphi(x)|^2 \, dx = 0$$ für jeden $n \in \mathbb{Z}$ mit $n \neq 0$. Außerdem$$\widehat{g}(0) = \int_{\mathbb{T}} |\varphi(x)|^2 \, dx = 1.$$ Überprüfen Sie nun, ob die Konstante funktioniert $1 \in L^1(\mathbb{T})$ befriedigt auch $\widehat{1}(n) = 0$ zum $n \in \mathbb{Z}$ mit $n \neq 0$ und $\widehat{1}(0) = 1$. Dann$\widehat{g-1} = 0$ und deshalb $g = 1$fast überall durch die Erklärung in Ihrer letzten Frage .