Integral von $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Lassen $1 \leq p < \infty$ und lass $d$sei eine positive ganze Zahl. Das möchte ich zeigen$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Aufgrund der $L^p$Normalerweise ist der Integrand nicht radialsymmetrisch. Wenn ich in sphärische Koordinaten konvertiere, habe ich am Ende$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ wo $\sigma$ist das sphärische Maß. Wie soll ich von hier aus vorgehen? Oder wie soll ich dieses Integral berechnen? Ich würde mich über detaillierte Berechnungen freuen!

Answer 1

Ein einfacher Ansatz ist es, dies für jeden zu sehen $f$ so dass das Integral auf der LHS unten existiert, haben wir $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ wo $K_{p,d}$ hängt nicht davon ab $f$ (Sagen wir, wir ersetzen $x=tg(y)$ wo $x=g(y)$ ist eine Parametrierung von $\|x\|_p=1$;; Der Jakobianer einer solchen Substitution hat die Form$t^{d-1}h(y)$ mit etwas $h$ nicht abhängig von $t$).

Finden $K_{p,d}$, wir wählen $f$so dass beide Seiten von \ eqref {maineq} einfach zu berechnen sind. Nehmen$f(t)=e^{-t^p}$:: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ so dass $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Um die Antwort zu erhalten, bleibt es zu setzen$f(t)=e^{-t}$ in \ eqref {maineq}.