Integration einer Bessel-Funktion mal Sinusfunktion mal Polynom

Question

Ich habe kürzlich den folgenden Ausdruck gesehen (während ich versuchte, die Fourier-Transformation eines RKKY-ähnlichen Potentials zu berechnen):

\begin{align} \int_0^{\infty} \text{d} r\; J_0 (k r) \frac{\sin \left(\alpha \sqrt{1+r^2} \right) }{(1+r^2)^2} \; r = -\frac{1}{\alpha} \int_0^{\infty} \text{d} r\; J_0 (k r) \frac{1}{(1+r^2)^{3/2}} \frac{\text{d}}{\text d r} \left[\cos \left( \alpha\sqrt{1+r^2} \right) \right] \end{align}

Obwohl ich es numerisch lösen kann, möchte ich einen Ausdruck in geschlossener Form finden, falls es einen gibt.

Ich habe hier einige verwandte Fragen gefunden, wie z.

\begin{align} \int_0^{\infty} \text{d}r\; J_0 \left( \alpha\sqrt{x^2 +z^2} \right) \, \cos \left(\beta x \right) = \frac{\cos \left(z\sqrt{\alpha^2 -\beta^2} \right)}{\sqrt{\alpha^2 -\beta^2}} \end{align} hat mir aber nicht wirklich geholfen.

Answer 1

Gemäß dieser Referenz , Tabelle 8.2, Eintrag (7):

$$\int_0^\infty \dfrac{1}{\left(1+r^2\right)^\frac{3}{2}}J_0(kr)r \; dr = e^{-k}$$

und gemäß Tabelle 8.2, Eintrag (41):

$$\int_0^\infty \dfrac{\sin\left[\alpha\left(1+r^2\right)^\frac{1}{2}\right]}{\left(1+r^2\right)^\frac{1}{2}}J_0(kr)r \; dr = \dfrac{\cos\left[\left(\alpha^2-k^2\right)^\frac{1}{2}\right]}{\left(\alpha^2-k^2\right)^\frac{1}{2}}\Pi\left(\dfrac{k}{\alpha}-\dfrac{1}{2}\right)$$

wo

$$\Pi(t) = \begin{cases} 1 & -\frac{1}{2} < t< \frac{1}{2}\\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}$$

Verwenden der Faltungseigenschaft der Hankel-Transformation, falls die Faltung vorhanden ist

$$\begin{align*} \int_0^\infty \dfrac{1}{\left(1+r^2\right)^\frac{3}{2}}\dfrac{\sin\left[\alpha\left(1+r^2\right)^\frac{1}{2}\right]}{\left(1+r^2\right)^\frac{1}{2}}J_0(kr)r \; dr &= \dfrac{1}{2\pi}e^{-k}**\dfrac{\cos\left[\left(\alpha^2-k^2\right)^\frac{1}{2}\right]}{\left(\alpha^2-k^2\right)^\frac{1}{2}}\Pi\left(\dfrac{k}{\alpha}-\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{k\cos\theta+\sqrt{k^2\cos^2\theta-(k^2-\alpha^2)}} e^{-k'}\dfrac{\cos\left[\left(\alpha^2-\left[k^2+k'^2-2kk'\cos\theta\right]\right)^\frac{1}{2}\right]}{\left(\alpha^2-\left[k^2+k'^2-2kk'\cos\theta\right]\right)^\frac{1}{2}}k' \; dk' \; d\theta\\ \\ &\mathrm{or}\\ \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\alpha^-} e^{-\sqrt{k^2+k'^2-2kk'\cos\theta}}\dfrac{\cos\left[\left(\alpha^2-k'^2\right)^\frac{1}{2}\right]}{\left(\alpha^2-k'^2\right)^\frac{1}{2}}k' \; dk' \; d\theta\\ \end{align*}$$

Beides scheint nicht einfach symbolisch zu bewerten. Obwohl einer von ihnen möglicherweise weniger Aufwand für die numerische Bewertung benötigt als Ihr ursprüngliches Integral.