Integration mit einer Gammafunktion

Question

Ich möchte das folgende Integral finden.

$$ \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \int^{\infty}_{5} (x-5)^{a-1} e^{tx} e^{- \frac{x-5}{\beta}} dx$$

Aufgrund einiger von mir durchgeführter Untersuchungen glaube ich, dass es eine gute Idee sein könnte, die Gammafunktion zu verwenden, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich sie genau verwenden soll, um das Integral in diesem Fall zu lösen. Wie würde ich das machen?

Answer 1

$$I=\int_5^\infty(x-5)^{\alpha-1}e^{tx}e^{-(x-5)/\beta}dx$$ $u=x-5$, $du=dx$ $$I=e^{5t}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{tu}e^{-u/\beta}du=e^{5t}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-(\beta^{-1}-t)u}du=e^{5t}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-\gamma u}du$$ zur Erleichterung werde ich bekommen $\gamma=\beta^{-1}-t$ dann müssen wir die Substitution vornehmen $v=\gamma u$ $dv=\gamma du$ und so: $$I=e^{5t}\gamma^{2-\alpha}\int_0^\infty v^{\alpha-1}e^{-v}dv=e^{5t}\gamma^{2-\alpha}\Gamma(\alpha)=e^{5t}\left(\frac1\beta-t\right)^{2-\alpha}\Gamma(\alpha)$$ Jetzt sollten Sie den Rest ziemlich einfach erledigen können