Intuitive Erklärung für die Inverse einer Permutationsmatrix

Question

Heute in der Vorlesung haben wir gelernt, dass die Transponierung einer Permutationsmatrix die Umkehrung der Permutationsmatrix ist. Bedeutung,$$P^{T}P = I$$

Ich kann die Mathematik durch Matrixmultiplikation erarbeiten, aber ich würde ein tieferes, intuitiveres Verständnis bevorzugen.

Was ich bisher im Kopf habe ist:

Wir wissen, dass die Matrix $P$ wird Zeilen tauschen, wenn wir es auf eine Matrix anwenden, sagen wir $A$. Dann$PA$ wird die tauschen $i^{th}$ Reihe von A mit dem $j^{th}$ von $A$.

Dies bedeutet dann das $P^{T}(PA)$ muss unser neues tauschen $i^{th}$ Reihe mit dem neuen $j^{th}$ Reihe, damit wir unser Original haben können $A$Matrix zurück. Warum ist das immer wahr? Genauer gesagt, warum$P^{T}$ Reihen wieder austauschen ...?

Answer 1

Der entscheidende Punkt ist, dass jede Permutationsmatrix als Produkt elementarer Permutationsmatrizen erhalten werden kann, die jeweils nur durch linken Multiplikationsaustausch miteinander verbunden sind $2$ Zeilen daher gegeben

$$P=P_{i,j}\cdots P_{h,k}$$

Die umgekehrte Operation ist gegeben durch

$$P^{-1}=P_{h,k}\cdots P_{i,j}$$

und da elementare Permutationsmatrizen symmetrisch sind

$$P^{-1}=P_{h,k}\cdots P_{i,j}=(P_{i,j}\cdots P_{h,k})^T=P^T$$

Siehe dazu

• Symmetrische Permutationsmatrix

Answer 2

Eine Permutationsmatrix $P$bewahrt die Länge. Damit$\|Px\|=\|x\|$, was gibt $\langle P^TPx,x\rangle=\langle x,x\rangle$im euklidischen inneren Produkt. Das reicht aus, um das zu implizieren$P^TP=I$. Damit,$P^T$ muss das Austauschen von rückgängig machen $P$.