Isomorphismus mit Ext-Funktor

Question

Nehme an, dass $M$ ist ein freier Rang $n$ $R$-Modul und außerdem eine Gruppe annehmen $G$ wirkt auf $M$ und der $G$-Aktion pendelt mit dem $R$-Aktion. Daher haben wir einen Homomorphismus$\rho: G \rightarrow \text{GL}_n(R)$. Dies gibt uns wiederum eine$G$-Aktion auf $\text{End}_R(M)$ über $g\cdot \phi = \rho(g) \phi \rho(g)^{-1}$. Jetzt ist$$\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, \text{End}_R(M)) \cong \text{Ext}^1_{R[G]}(M,M)?$$Ich weiß, dass die Mengen über ein ziemlich umständliches Argument in Bijektion sind, aber ich frage mich, ob sich hier ein einfacher Gruppenisomorphismus versteckt. Gibt es auch entsprechende Isomorphismen höherer Ext-Gruppen?

Answer 1

Zuerst lassen $A$ sei einer $\mathbb{Z}[G]$-Modul und $M$ und $N$ irgendein $R[G]$-Module.

Es gibt einen natürlichen Isomorphismus von $R$-Module $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(A\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr)$$ (wo $G$ wirkt auf $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ durch $(g\cdot\varphi)(m)=g\varphi(g^{-1}m)$ und weiter $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ durch $g\cdot(a\otimes m)=(ga)\otimes(gm)$), gegeben durch $$\theta\mapsto[a\otimes m\mapsto \theta(a)(m)]$$ mit invers $$\psi\mapsto [a\mapsto[m\mapsto\psi(a\otimes m)]].$$

Nehmen Sie das von nun an an $A$ ist ein Projektiv $\mathbb{Z}[G]$-Modul und $M$ ist projektiv als $R$-Modul. Dann als Funktoren aus$R[G]$-Module zu $R$-Module, $$\operatorname{Hom}_{R[G]}(A\otimes_{\mathbb{Z}}M, -)\cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,-)\bigr),$$ das ist genau so $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ ist ein Projektiv $R[G]$-Modul.

Anwenden dieser Funktoren von $A$ zu einer projektiven Auflösung $P_*$ des $\mathbb{Z}[G]$-Modul $\mathbb{Z}$erhalten wir isomorphe Kettenkomplexe $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(P_*,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr).$$

Die Homologie des ersten ist $\operatorname{Ext}^*_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z}, \operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)$, und seit $P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M$ ist eine projektive Auflösung von$M$ als $R[G]$-Modul) ist die Homologie des zweiten $\operatorname{Ext}^*_{R[G]}(M,N)$.

Insbesondere wenn $M=N$ dies ergibt natürliche Isomorphismen von $R$-Module $$\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z},\operatorname{End}_R(M)\bigr)\cong \operatorname{Ext}^n_{R[G]}(M,M)$$ für jeden $n$.