Ist 4-Impuls ein Vektor oder eine 1-Form?
Dies ist eine Fortsetzung von https://physics.stackexchange.com/a/576885/117014. Wenn wir einen Vektor und seine "kanonisch" duale 1-Form nicht betrachten sollten, um dasselbe Objekt darzustellen, dann sollten wir anscheinend sagen können, ob 4-Impuls zum Beispiel ein Vektor oder eine 1-Form ist. Ich könnte das Gleiche über den Tensor für elektromagnetische Felder fragen, aber der Impuls scheint ein guter Anfang zu sein. Ich neige dazu, Kraft als eine 1-Form zu betrachten, weil sie in der reinen klassischen Mechanik das Negative des Gradienten eines Potentials ist (Ask Susskind). Da Kraft auch die zeitliche Ableitung des Impulses ist, erscheint es vernünftig, den Impuls als a zu betrachten 1-Form. Wir können uns den Impuls aber auch als das Produkt der Masse mit 4-Geschwindigkeit vorstellen, die ein 4-Vektor ist.
Wenn also ein Vektor und seine duale 1-Form nicht als unterschiedliche Darstellungen desselben Objekts angesehen werden sollen, muss der Impuls der eine oder andere sein. Entweder das, oder wir haben zwei unterschiedliche geometrische Objekte, die den Impuls darstellen.
Welches ist es?
Antworten
Für mich ist die natürlichste Definition von Impuls der Lagrange-Formalismus, der die Einform ergibt $p_\mu = \frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}$. Nehmen Sie den Standard Lagrangian
$$L(x, \dot x) = m\sqrt{g_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu}$$ (wo eine Differenzierung in Bezug auf die richtige Zeit vorgenommen wird), folgt daraus $p_\mu = g_{\mu\nu} m\dot x^\nu$. Davon abgesehen ist dies eindeutig der Bruder des 4-Vektors$\tilde{p}^\mu = m \dot x^\mu$, wobei der Index über die Metrik angehoben / abgesenkt wird.
Wenn wir vom Lagrange-Standpunkt aus einen potenziellen Energieterm hinzufügen, nehmen die Lagrange-Bewegungsgleichungen die Form an
$$\frac{d}{d\tau} p_\mu = -\frac{\partial U}{\partial x^\mu} \equiv f_\mu$$Wie Sie sagen, ist Kraft aus dieser Perspektive natürlich eine Einform. Aber auch hier liefert uns die Metrik einen Isomorphismus, also eine Lösung
$$\frac{d}{dt}p_\mu = f_\mu$$ und $$\frac{d}{d\tau} \tilde{p}^\mu =g^{\mu\nu} f_\nu \equiv \tilde{f}^\mu$$
sind letztendlich gleichwertig.
Wenn wir die mythische klassische Punktmasse betrachten, hat sie einen 4-Impuls, der durch ihre Masse und ihre Weltlinie bestimmt wird. Ich nenne so etwas ein "Prioritäts" -Objekt. Es existiert vor jeder vielfältigen Parametrisierung oder Metrik (oder Beobachtung).
Ok das ist gut. Du sprichst über$p^\mu = m \dot x^\mu$. Dieser Ausdruck ist perfekt definiert, ohne dass eine zusätzliche Struktur erforderlich ist.
Unabhängig davon, ob wir es kovariant oder kontravariant ausdrücken, bezieht sich der Ausdruck auf dieselbe physische Einheit.
Ohne eine Metrik (oder eine andere Struktur, die einen ähnlichen Isomorphismus liefert) kann man sie nicht "kovariant ausdrücken". Der Impuls, auf den Sie zuvor Bezug genommen haben, ist für sich genommen gut definiert, aber Sie können ihn nicht einem Covektor zuordnen, ohne implizit eine Metrik (oder eine andere Karte zur Senkung des Index) zu wählen.
Normalerweise schreibe ich Schwung kovariant. Aber ich habe kein ontologisches Argument, um dies als eine inhärente Eigenschaft des Impulses zu betrachten.
Dafür müssen Sie genauer angeben, was Sie unter Dynamik verstehen. Wenn Sie über die Masse mal die 4-Geschwindigkeit sprechen, ist das ein 4-Vektor. Wenn Sie über den kanonischen Impuls sprechen, der in den Lagrange- oder Hamilton-Bildern mit der Position konjugiert ist und dessen räumliche Komponenten (i) als infinitesimale Generatoren räumlicher Übersetzungen fungieren und (ii) bei Vorhandensein einer räumlichen Übersetzungssymmetrie erhalten bleiben dann ist dieses Objekt ein Covector.
Betrachten Sie als konkretes Beispiel die FLRW- Raumzeit im flachen Raum, in der
$$ds^2= c^2dt^2 - a^2(t)\big(dx^2+dy^2+dz^2\big)$$
Diese Metrik ist homogen und isotrop, was eine 3-Impuls-Erhaltung impliziert. Dies ist jedoch nicht der Fall$p^k = m \dot x^k,\ k=1,2,3$ das ist aber konserviert $p_k = -a^2(t)m\dot x^k$.