Ist $\frac{u}{|u|}$ 1- Lipschitz?

Question

Ich möchte beweisen, dass die Anwendung $\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$ ist Lipschitz mit konstant $1$. Wenn ich hinzufüge ($\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$) Finde ich die Konstante gleich $2$(Die verwendete Norm ist die Euklidien-Norm). Es ist nicht$1$-Lipschitz?

Vielen Dank

Answer 1

Es ist $1-$ Lipschitz. $|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$ und $|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$ oder $2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$. Bei Anwendung der CS-Ungleichung reduziert sich die Lipschitz-Eigenschaft auf$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$ wo $a=|u|$ und $b=|b|$ und das reduziert sich auf $(a-b)^{2} \geq 0$ was wahr ist.

Answer 2

Ein Beweis mit Projektion auf konvexe Mengen

$B_3$ die geschlossene Einheit Kugel von $\mathbb R^3$ist eine geschlossene konvexe Teilmenge. Das angeforderte Ergebnis besteht darin, nachzuweisen, dass die Projektion auf$S^2$ von Punkten in $\mathbb R^3 \setminus B_3$ zieht sich zusammen.

Einen Beweis finden Sie hier .

Sie können diesen Beweis in Ihrem speziellen Fall nachahmen, wenn Sie dies wünschen.

Answer 3

Geometrischer Beweis unter Verwendung des Abfangsatzes

Nehmen wir ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass $1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$ und bezeichnen $v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$. Beachte das$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$.

Verwenden des Intercept-Theorems für die Dreiecke$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$ und $0 \ u \ v^\prime$ du erhältst

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$ weil $\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$.