Jacobson-Radikal des Polynomrings

Question

Definition: Let$M$ Bohne $R$Modul. Dann Jacobson radikal von$M$ wird mit bezeichnet $J_R(M)$ und definiert als der Schnittpunkt aller maximalen Submodule von $M$. Wenn$M$ hat dann kein maximales Submodul $J_R(M)=M$.

Lassen $R$ ein kommutativer Ring sein und $S=R[x]$sei der Polynomring. Wir wissen, dass Jacobson radikal von$S$ ist $Nil(R)[x]$ wann $S$ wird als genommen $S$Modul. dh$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Meine Frage: Wovon wird der Jacobson-Radikale sein?$S$ wann $S$ wird als genommen $R$Modul? dh$J_R(S)=?$

Bitte hilf mir. Ich werde Ihnen sehr dankbar sein.

Answer 1

Beachten Sie zuerst das $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ wie $R$-Modul. Darüber hinaus bewahrt das Jacobson-Radikal daher direkte Summen$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ das ist das Submodul von Polynomen mit Koeffizienten in $J_R(R)$.

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Um zu beweisen, dass der Jacobson-Radikale mit einer direkten Summe von Modulen pendelt, beachten Sie zunächst, dass jeder $R$-Modul Homomorphismus $\varphi:M\to N$ Karten $J_R(M)$ in $J_R(N)$. Anwendung auf die kanonischen Projektionen$\bigoplus_iM_i\to M_i$ gibt $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Ebenso unter Berücksichtigung der kanonischen Einschlüsse$M_i\to\bigoplus_iM_i$ wir bekommen die umgekehrte Einbeziehung $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.