K-Theorie von $C^{*}(X)$

Question

Ich bin neu in der K-Theorie für $C^{*}$-Algebra und $C^{*}$-Algebra von Gruppen.

Wenn $X$ ist die Gruppe der endlichen Unterstützungsbijektionen natürlicher Zahlen, was ist dann die K-Theorie von $C^{*}(X)$?

Ich hatte vor zu rechnen $C^{*}(X)$ zuerst und dann seine Projektionen und ihre Homotopieklassen, aber ich konnte nicht bestimmen $C^{*}(X)$ an erster Stelle.

Hier ist die Definition der $C^{*}$-Algebra einer Gruppe:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank.

Answer 1

Die Gruppe, die Sie beschreiben, sollte die unendliche symmetrische Gruppe sein $S_{\infty}$. Das$K$-Theorie seiner $C^*$-Algebra wurde von Kerov und Vershik in bestimmt

Der K-Funktor (Grothendieck-Gruppe) der unendlichen symmetrischen Gruppe https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Das Hauptergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden: Let $\mathcal{A}$sei der Ring symmetrischer Polynome in unendlich vielen Variablen. Dies ist isomorph zu$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, wo $a_i$ ist der $i$Die elementare symmetrische Funktion in einer unendlichen Anzahl von Argumenten. Dann$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ Der Isomorphismus sendet die irreduzible Darstellung $\pi_{\lambda}$ entsprechend dem Young-Diagramm $\lambda$ zur Schur-Funktion entsprechend $\lambda$. Dies ist auch ein Isomorphismus von Ringen, bei dem die Ringstruktur auf der linken Seite aus der Beobachtung stammt, dass$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ und multipliziert zwei Darstellungen $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ und $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ zu $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ wo $S_n \times S_m$ sitzt drinnen $S_{n+m}$ mit $S_n$ Permutation der ersten $n$ Elemente und $S_m$ den anderen permutieren $m$.