Karten zwischen Colimit-Objekten
Lassen $\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$ und $\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ zwei Diagramme in einer Kategorie sein $\mathcal{C}$. Lassen$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$ und $B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Gegeben zwei Karten$f,g: A\rightarrow B$unter der Annahme, dass der Coequaliser $C$ existiert, kann $C$ in Form des Colimits eines Diagramms dargestellt werden, das aus Objekten besteht $A_i$ und $B_j$?
Antworten
Es ist eine verlockende, aber falsche Vermutung! Lass alle$A_i$ und $B_i$ Kopien von sein $\mathbb{Z}$ in der Kategorie $\text{Ab}$von abelschen Gruppen und lassen Sie beide Colimits Nebenprodukte sein. Dann tritt jede abelsche Gruppe als Co-Qualifizierer eines Kartenpaars zwischen solchen Nebenprodukten auf (dies sagt genau aus, dass jede abelsche Gruppe eine Präsentation hat), aber nicht jede abelsche Gruppe tritt als Kolimit von Kopien von auf$\mathbb{Z}$. Ich habe vor einiger Zeit genau diese Frage bei MathOverflow gestellt und eine sehr informative negative Antwort erhalten.
Lassen Sie mich die Notation ändern. Lassen$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ und $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ Funktoren sein, lass $\mathcal{D}$ die vollständige Unterkategorie von sein $\mathcal{C}$ überspannt von den Bildern von $X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ und $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, und lass $\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$ und $\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$ im $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, wo wir definieren $h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Dann,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$ so ein Morphismus $f : \bar{X} \to \bar{Y}$ kann in eine Familie von Morphismen zerlegt werden $X (i) \to Y (j_i)$ indiziert von $i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$modulo eine bestimmte Äquivalenzbeziehung. Auf der anderen Seite, auch wenn$X$ und $Y$ habe Colimits in $\mathcal{C}$, bestenfalls können wir nur sagen $$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ und obwohl es eine kanonische Vergleichskarte gibt $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ Es ist im Allgemeinen keine Bijektion.
Wenn - das ist ein großes Wenn - das Parallelpaar$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ im $\mathcal{C}$ Sie sind daran interessiert, durch diese Vergleichskarte gehoben zu werden, dann ist ihr Coequaliser ein Colimit eines Diagramms, aus dem aufgebaut ist $X$ und $Y$.
In der Tat, lassen Sie $f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ Morphismen sein in $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Dann können wir ihren Coequaliser bilden$\bar{Z}$ im $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Es gibt ein kanonisches Diagramm$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ wessen colimit in $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ ist $\bar{Z}$. Ausdrücklich,$\textbf{El} (\bar{Z})$ ist die folgende Kategorie:
- Die Objekte in $\textbf{El} (\bar{Z})$ sind Paare $(D, z)$ wo $D$ ist ein Objekt in $\mathcal{D}$ und $z$ ist ein Element von $\bar{Z} (C)$.
- Die Morphismen $(D, z) \to (D', z')$ im $\mathcal{K}$ sind die Morphismen $g : D \to D'$ im $\mathcal{D}$ so dass $z' \cdot g = z$.
- Die Zusammensetzung wird von geerbt $\mathcal{D}$.
Es gibt eine offensichtliche Projektion $R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ und es ist einfach, das zu überprüfen $\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. Ich behaupte:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ ist der Coequaliser von $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ im $\mathcal{C}$im starken Sinne, dass $\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ existiert in $\mathcal{C}$ genau dann, wenn der Coequaliser in existiert $\mathcal{C}$ und sie sind isomorph.
Lassen $\bar{\mathcal{D}}$ die vollständige Unterkategorie von sein $\mathcal{C}$ von den Objekten überspannt $C$ im $\mathcal{C}$ so dass für jedes Objekt $T$ im $\mathcal{C}$, die kanonische Karte (induziert durch die Einschränkung der Yoneda-Einbettung) $$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$ist eine Bijektion. Das übliche Yoneda-Lemma sagt es uns$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, aber für jedes Diagramm $Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$, $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$ natürlich in $T$, also wenn $\varinjlim_\mathcal{K} Z$ existiert in $\mathcal{C}$ dann ist es auch in $\bar{\mathcal{D}}$ - Zusamenfassend, $\bar{\mathcal{D}}$ wird unter colimits geschlossen, die in existieren $\mathcal{C}$. Bestimmtes,$\varinjlim_\mathcal{I} X$ und $\varinjlim_\mathcal{J} Y$ sind in $\bar{\mathcal{D}}$und wenn das parallele Paar $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ im $\mathcal{C}$ hat einen Coequaliser als der Coequaliser auch in $\bar{\mathcal{D}}$. Im Wesentlichen die Definition von$\bar{\mathcal{D}}$stellt sicher, dass alles, was über iterierte Colimits in bewiesen werden kann$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ ist auch wahr in $\mathcal{C}$, solange alle beteiligten Colimits in realisiert werden können $\bar{\mathcal{D}}$. Also, wenn das parallele Paar$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ im $\mathcal{C}$ kann zu einem parallelen Paar angehoben werden $\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$ im $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, dann der Coequaliser in $\mathcal{C}$ kann mit dem colimit in identifiziert werden $\mathcal{C}$ eines Diagramms in $\mathcal{D}$.
Es kann erwähnenswert sein, dass die Yoneda-Darstellung $\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ mag weder völlig treu sein noch Colimits bewahren ... aber dies formuliert nur die Warnung im ersten Absatz neu.