Kleben von Vektorfeldern

Question

Lassen $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit sein und $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$der glatte zugehörige Atlas. Ich habe glatte Vektorfelder$X_i$ auf jeder $U_i$ so dass für $i, j \in I$, $X_i$ und $X_j$ sind gleich auf $U_i \cap U_j$. Gibt es einen Satz, mit dem ich diese Vektorfelder "kleben" kann?$i.e.$ Gibt es ein (eindeutiges) Vektorfeld? $X$ auf $M$ so dass $X\big|_{U_i} = X_i$? Vielen Dank!

Answer 1

Ja, tatsächlich haben wir ein etwas allgemeineres Ergebnis, das in Lees Einführung in glatte Mannigfaltigkeiten, 2. Ausgabe, wie folgt erscheint:

Folgerung 2.8 (Klebelemma für glatte Karten) Let$M$ und $N$ glatte Verteiler mit oder ohne Begrenzung sein und lassen $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ eine offene Abdeckung von sein $M$. Angenommen, das für jeden$\alpha \in A$erhalten wir eine glatte Karte $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ so dass sich die Karten auf Überschneidungen einigen: $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ für alle $\alpha$ und $\beta$. Dann gibt es eine einzigartige glatte Karte$F : M \to N$ so dass $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ für jede $\alpha \in A$.

Dies ist nur eine Folge der Tatsache, dass wenn eine Karte $F: M \to N$ Ist lokal glatt, dann die Karte $F$ ist glatt.