Komplexe Analyse, die das Integral berechnet

Question

Ich=$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$ist das Intervall dazwischen$\omega_1=0$und$\omega_2=1+2\mathrm i$

Wie kann ich das obige Integral berechnen? Ich habe keinen Prozess zu dieser Frage. Es tut mir leid .

Answer 1

Wenden Sie einfach die Definition an: Wenn$D\subseteq\mathbb C$,$\gamma:[a,b]\to D$ist die Parametrisierung einer glatten Kurve und$f:D\to\mathbb C$, dann

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

In Ihrem Fall,$\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$eine geeignete Parametrisierung ist, und$f(z)=\operatorname{Im}z$. Alles einstecken:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

Ich denke den Rest schaffst du alleine.