Könnte ein Quadric ein sein? $k$ dimensionale Hyperebene?

Question

Annehmen, dass $Q$ ist eine Hyperfläche in $\mathbb C^n$ vom zweiten Grad, gegeben durch Gleichung $ \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j +2\sum_{i=1}^n b_i x_i +c=0, $

mit $a_{ij}=a_{ji}$ und komplexe Koeffizienten.

Ich bin nicht mit algebraischer Geometrie vertraut, aber ich möchte wissen, ob $Q$ könnte eine leere Menge oder eine affine Hyperebene sein $\mathbb C^n$, aber anders als jeder $n-1$ dimensionale affine Hiperplane

$ H: \ \sum_{i=1}^n a_i x_i+a_0=0, $

wo nicht alle $a_1,...,a_n$ verschwinden, was seitdem ein Quadrat ist

$ H: \ (\sum_{i=1}^n a_i x_i+a_0)^2=0. $

Ich weiß das im Fall von echtem Quadric in $\mathbb R^n$ kann eine affine Hiperplane beliebiger Dimension sein $<n$zum Beispiel wenn $k\in \{1,...,n\}$ Die gleichung

$ x_1^2+...+x_k^2=0 $

repräsentiert $n-k$-dimensionaler Unterraum von $\mathbb R^n$.

Vielen Dank

Answer 1

Zuallererst, weil $\Bbb{C}$ ist geschlossen, ein nicht konstantes Polynom $f(x_1,\ldots, x_n)$ hat immer Lösungen in $\Bbb{C}^n$(und in der Tat unendlich viele). Zum Beispiel gegeben$f(x,y)=x^2+y^2$, einstellen $y=z_0\in \Bbb{C}$ und dann $x^2+z_0=0$ hat $2$Lösungen (mit Vielzahl). Also für jede Wahl von$y$ es gibt $2$ Lösungen in $x$. Sie können dieses Argument verallgemeinern.

Ich weiß, dass Sie gesagt haben, dass Sie mit viel algebraischer Geometrie nicht vertraut sind, aber ich werde ein Argument skizzieren, damit Sie ein paar Dinge nachschlagen und hoffentlich zustimmen können.

Nun ist das projektive Schließen einer Hyperebene in $\Bbb{C}^n$ ist eine Hyperebene in $\Bbb{P}^n$. Nehmen$Q$ Wie Sie es definiert haben, erhalten wir eine projektiv ausgeschnittene Vielfalt $2$ Gleichung, wenn wir seinen projektiven Abschluss nehmen $Z$. Als nächstes verwenden wir den Satz von Bézout für Hyperflächen, der (in diesem Fall) besagt, dass eine Linie gegeben ist$L$ im $\Bbb{P}^n$ und eine Hyperfläche $Y=Z(f)$ist die Anzahl der Schnittpunkte mit Multiplizität gegeben durch $\deg(L)\cdot \deg(f)=1\cdot\deg(f).$ Für uns, $f$ ist Grad $2$ so dass der Schnittpunkt mit der Vielzahl einer Linie mit $Z$.

Auf der anderen Seite, wenn $Z$ waren eine Hyperebene in $\Bbb{P}^n$würde es um einen Grad herausgeschnitten werden $1$ Gleichung per Definition und schneiden daher die Linie $L$in einem Punkt. So,$Z$ ist keine projektive Hyperebene und $Q$ definiert keine affine Hyperebene.