Lap Theory Optimales Wettspiel

Question

Drei Gefangene sitzen an einem Tisch. Jeder von ihnen hat ein Mobiltelefon auf dem Schoß und darf nicht auf das Telefon eines anderen schauen (und offensichtlich ist keine andere Form der Kommunikation zulässig).

Jedes Telefon zeigt eine Nummer von 0 bis einschließlich 10 an. Sie wissen, dass keine zwei Gefangenen die gleiche Anzahl haben. Angenommen, jede Zahl ist gleich wahrscheinlich (dh eine gleichmäßige Verteilung der Mathe-Nerds unter Ihnen). Jeder Gefangene muss zwischen 1 und 100 Chips wetten, dass er die höchste Anzahl hat.

Gewinne und Verluste werden gezählt und die Gefangenen werden nur dann freigelassen, wenn ihre Nettogewinne positiv sind (Wetten werden per Handy eingereicht, sodass keine Informationen über die Wette eines anderen für die eigene Strategie verwendet werden können).

Beispiel: A, B, C haben die Nummern 3,5,8. Sie setzen jeweils 30, 42, 53. C gewinnt 53, aber A und B verlieren insgesamt 72 und die Gefangenen werden nicht befreit.

Was ist die Lap Theory Optimal-Strategie für die drei Gefangenen? Und wie stehen die Chancen, dass sie die Freiheit gewinnen? Können Sie beweisen, dass Ihre Antwort tatsächlich optimal ist?

Angenommen, die Gefangenen kooperieren und es gibt keinen „Neid“ gegenüber demjenigen, der seine individuelle Wette gewinnt.

HINWEIS: Der Puzzletitel basiert auf dem Konzept von Game Theory Optimal (GTO) - es gibt eine einzige beste Entscheidung für jedes denkbare Wett-Szenario in jeder Form von Poker (unabhängig davon, ob es sich um Holdem, Stud, Razz oder das Entfernen von Kleidungsstücken handelt Sie folden eine gewinnende Hand). Die eigentliche Frage ist inspiriert von einem Betrugsskandal mit Mike Postle und Stones 'Gambling Hall , von dem ich erst kürzlich erfahren habe .

HINWEIS: Ich bin mir nicht sicher, ob das Erraten von Hüten ein geeignetes Tag ist, aber ich kann mir nichts Besseres vorstellen.

Answer 1

Ihre beste Strategie ist

(Nummer gezogen $\rightarrow$ Betrag, den sie setzen sollten) $0\rightarrow 0,1\rightarrow 0,2\rightarrow 1,3\rightarrow 2,4\rightarrow 4,5\rightarrow 7$ $6\rightarrow 12,7\rightarrow 20,8\rightarrow 33,9\rightarrow 54,10\rightarrow 88$
wenn Sie a $0$Wette ist erlaubt.

Ansonsten müssen wir die Serie durch so etwas ersetzen
$0\rightarrow 1$
$1\rightarrow 1$
$2\rightarrow 1$
$3\rightarrow 3$
$4\rightarrow 5$
$5\rightarrow 9$
$6\rightarrow 15$
$7\rightarrow 25$
$8\rightarrow 41$
$9\rightarrow 67$
$10\rightarrow 100$.
Dies ist nicht eindeutig. Die einzige Voraussetzung ist, dass von drei verschiedenen gezogenen Zahlen die größte mehr setzt als die beiden niedrigeren zusammen, oder wenn dies nicht erreicht werden kann, um so wenige Ausnahmen wie möglich zu haben. In Szenario 2 haben wir zwei Ausnahmen:$(0,1,2)$ und $(8,9,10)$.

Ihre Chancen mit dieser Strategie sind

$100\%$ im ersten Szenario und $1 - \frac 2 {\left(\begin{matrix}11 \\ 3\end{matrix}\right )}\approx 98.8\%$ in dem anderen.

Optimalität

Dafür müssen wir zeigen, dass es keine Strategie gibt, die uns in weniger als zwei Ergebnissen verlieren lässt. Der kritische Fall ist ein schlechtes Ergebnis. Wir wären in der Lage, diesen Einzelfall zu beseitigen, indem wir eine seiner Zahlen, die aus dem Pool der zulässigen Zahlen gezogen wurden, ziemlich ruckartig entfernen$10$ ziehbare Zahlen und a $100\%$Erfolgsrate. Aber$10$ kann auch bei engster Verpackung noch nicht getrennt werden: $1,1,3,5,9,15,25,41,67,109$.