$ \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x} $

Question

Ich muss die folgende Grenze lösen $$ \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x} $$ Meine Lösung ist:

$ \lim\limits_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x}= \lim\limits_{x \to -\infty}{x \cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}=- \infty$

während das richtige Ergebnis ist $-1$,

aber ich kann nicht verstehen, wo ich Fehler mache.

Answer 1

Sieh dir das an: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$$ $$ = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x}}-1}$$ $$ = \frac{2}{-1-1} = -1 \quad [\text{as }x< 0] $$

Answer 2

$\sqrt {x^{2}+2x} =-x (\sqrt {1+\frac 2 x})$ zum $x <0$. Nutzen Sie nun die Tatsache, dass$\sqrt {1+\frac 2 x} \sim 1+\frac 1 x+o(\frac 1 x)$ um zu sehen, dass die Grenze ist $-1$.