Limit unter Integralzeichen mit komplexem Integranden

Question

Ich habe die komplexe Analyse überarbeitet und bin auf folgendes Problem gestoßen:

Lassen $h(t)$ eine komplexwertige Funktion für das Einheitsintervall sein und definieren $$H(z) = \int_0^1\frac{h(t)}{t-z}dt, \quad z \in \mathbb{C}\setminus[0,1].$$ Zeige, dass $H$ ist komplex differenzierbar.

Ich dachte etwas in der Art von

$$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{H(z)-H(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z\rightarrow z_0}\frac{1}{z-z_0}\int_0^1h(t)\left(\frac{1}{t-z} - \frac{1}{t-z_0}\right)dt = \\ = -\lim_{z\rightarrow z_0}\int_0^1\frac{h(t)}{(t-z)(t-z_0)}dt = -\int_0^1\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{h(t)}{(t-z)(t-z_0)}dt = \\ = \int^1_0\frac{h(t)}{(t-z_0)^2}dt$$Die Grenze existiert also und ist kontinuierlich. Ich bin mir jedoch nicht sicher, in welchem ​​Schritt Grenze und Integral ausgetauscht werden, da der Integrand komplex ist. Für reale Integranden haben wir den dominierten Konvergenzsatz und andere Ergebnisse. Gilt das auch für komplexe Integranden oder kann dieser Schritt auf andere Weise gerechtfertigt werden?

Jede Hilfe wäre dankbar!

Answer 1

Wenn $h$ ist so, dass $d\nu=h(t)dt$definiert ein endliches komplexes Maß, dann lautet die Antwort ja. Rudin macht es so:

$\tag1 \text{define}\quad \displaystyle F(z)=\int_0^1\frac{d\nu}{t-z}\quad \text{and let}\quad z_0\in \mathbb C\setminus [0,1]$

Wir können eine finden $r>0$ so dass der Ball $B_r(z_0)\subseteq \mathbb C\setminus [0,1]$. Dann,$\left|\frac{z-z_0}{t-z_0}\right|<\frac{|z-z_0|}{r}<1$ sobald $z\in B_r(z_0).$ Beheben Sie eine solche $z.$

Jetzt,

$\tag2 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^{n+1}}{(t-z_0)^n}=(z-z_0)\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-z_0}{t-z_0}\right)^n=(z-z_0)\frac{1}{1-\left(\frac{z-z_0}{t-z_0}\right)}=\frac{1}{t-z}$

Und da ist die Konvergenz einheitlich weiter $[0,1]$können wir Summation und Integration austauschen, nachdem wir die Summe in das Integral eingesetzt haben. Dies drückt aus$F$ im $B_r(z_0)$ als Potenzreihe

$\tag3 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\quad \text{with} \quad a_n=\int_0^1\frac{d\nu}{(t-z_0)^{n+1}}$