lineares Gleichungssystem mit Parameter über $\mathbb{R}$ und $\mathbb{Z_5}$

Question

Wir haben ein lineares Gleichungssystem als solches: $$ x+2y+(a-1)z=1\\-x-y+z=0\\-ax-(a+3)y-az=-3\\-ax-(a+2)y +0\cdot z=a^2 -5a-2$$

und ich muss die Lösung finden in $\mathbb{R}$ und $\mathbb{Z_{5}}$ Ich habe also kein Problem für $\mathbb{R}$ Ich bekomme die Matrix $$ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & a-1 & 1 \\ 0 & 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a^2-5\cdot a \end{matrix}\right)$$ aber die Fragen, die ich habe, sind wie folgt:

1. Kann ich das verwenden, was ich für die erweiterte Matrix und die Diskussion nach Parameter a in gefunden habe? $\mathbb{R}$ folgern $\mathbb{Z_5}$?

2.oder gibt es eine andere Möglichkeit, für die ich mich auf die Reihenebenenform reduzieren muss $Z_5$ und dann die Diskussion für Parameter a?

1. Wenn ich ein 3x3- oder 4x4-System hätte, um über eine niedrige Primzahl zu lösen $\mathbb{Z_{p_{1}}}$ und $\mathbb{Z_{p_{2}}}$ (zB 5 und 7) Wie würde ich mit der Matrix-Gauß-Eliminierung vorgehen? Könnte ich dieselbe erweiterte Matrix verwenden und sie auf eine Reihenebene reduzieren? $\mathbb{R}$ und dann diese erweiterte Matrix für den Rest wie oben verwenden oder nicht?

4.wenn ich mich richtig erinnere, gab es einen Satz über den Rang der ursprünglichen Matrix und einen erweiterten Satz, der etwas über die Anzahl der Lösungen aussagt, aber ich erinnere mich nicht, wie mir das helfen würde, Lösungen zu finden, indem ich nur die a's eliminiere, wo es keine gibt?

Answer 1

Wenn Sie bei der Erstellung der Staffelform nur die Multiplikation oder Division durch ganze Zahlen verwendet haben, vorausgesetzt, Sie haben nie durch ein Vielfaches von geteilt $5$Die gleichen Schritte würden die Staffelform über erzeugen $\mathbb{Z}_5$.

Vorausgesetzt, dies ist der Fall, ist das System vorbei $\mathbb{Z}_5$hat genau dann eine Lösung, wenn die letzte Spalte keine Pivot-Spalte ist. Wir müssen die Fälle unterscheiden$a\ne0$ und $a=0$. Wenn$a\ne0$können Sie mit der Gaußschen Eliminierung fortfahren, um {pmatrix} 1 & 2 & a-1 & 1 \\ 0 & 1 & a & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 zu beginnen \ end {pmatrix} und die letzte Spalte ist eine Pivot-Spalte.

Wenn $a=0$ist die Matrix \ begin {pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} und Das System hat Lösungen mit$z$ eine freie Variable sein (also fünf verschiedene Lösungen).

Answer 2

Ihre Matrix $M=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & a-1 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & a \cdot a \end{matrix}\right)$ ist ein Element von $M_{4\times 3}(\Bbb{Z}[a])$ wo $\Bbb{Z}[a]$ ist ein Ring von Polynomen im Unbestimmten $a$ist seine Pseudo-Inverse ein Element $N$ von $M_{3\times 4}(\Bbb{Z}[a,\det(M^\top M)^{-1}])$

wo $\det(M^\top M)^{-1}$ ist eine rationale Funktion in $a$.

Die Frage ist ob $p=5$ hat eine Umkehrung in diesem Ring $\Bbb{Z}[a,\det(M^\top M)^{-1}]$. Wenn nicht, dann (das natürliche Bild von)$N$ ist die Pseudo-Inverse von $M$ beides vorbei $\Bbb{R}[a])$ und $\Bbb{F}_p[a]$.

Als nächstes können Sie ersetzen $a$ durch ein beliebiges Element $c$ des Feldes so, dass $\det(M_{a=c})$ ist nicht $0$, die Pseudo-Inverse von $M_{a=c}$ wird sein $N_{a=c}$.