Log-Wahrscheinlichkeit einer Exponentialverteilung

Question

Ich habe eine Übung, die ich nicht ganz verstehe: Die Lebensdauer von 100 Lampen wurde gemessen. Jede Lampe wurde mit einer Intensität zwischen 0 und 1 verwendet, wobei 0 ausgeschaltet und 1 die maximale Intensität ist. Es ist aus Erfahrung bekannt, dass Lampen dieses Typs eine exponentiell verteilte Lebensdauer haben, für die der erwartete Wert geschrieben werden kann:

$$ \mu(s) = \frac{\beta}{s},\quad s>0, $$

Dabei ist β> 0 ein unbekannter Parameter und s die Leistung (wie hell sie leuchten), bei der die Lampe verwendet wird.

Die erste Aufgabe: Notieren Sie die Log-Wahrscheinlichkeit für β anhand der Beobachtungen.

Meine Frage ist, wo ich anfangen soll? Sollte es sein:$$ Ln[\mu(\beta,s)] = ln(\beta) - ln(s) $$ oder mache ich es falsch

Answer 1

Sie beginnen mit der Definition der (negativen) Log-Wahrscheinlichkeit

$$\lambda = -\log P = -\log \prod_i p_i = -\sum_i\log p_i$$

wo $P$ist die Wahrscheinlichkeit, das von Ihnen beobachtete Ereignis zu beobachten (einige Lampen explodierten und andere nicht). Das große Ereignis, das Sie beobachtet haben, besteht aus mehreren kleinen Ereignissen, eines für jede Lampe. Da Lampen unabhängig sind, ist Großereignis ein Produkt kleiner Ereignisse. Jetzt müssen Sie Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen korrekt einstecken, vereinfachen und fertig sein