Löse dieses Integral $\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$
Bezeichnen wir
$$I_{m,n} = \int \sin^m{x} \cos^n{x}\ dx$$
wo $m,n$ sind ganze Zahlen (möglicherweise negativ oder Nullen).
Es gibt einige bekannte wiederkehrende Formeln für $I_{m,n}$
Also ... als Beispiel habe ich versucht, dieses spezielle Integral zu lösen
$$\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$$
Mit diesen wiederkehrenden Formeln bekam ich endlich diese Antwort
(die Berechnungen waren nicht sehr lang, nur 1 oder 2 A4-Blätter):
$$F(x) = \frac{5}{8} \ln {|\tan \frac{x}{2}|} - \frac{5}{24} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^4{x}}$$
Aber WA gibt mir keinen einfachen Ausdruck, wenn ich differenziere $F(x)$
Ist meine Antwort falsch? Wie überprüfe ich es mit einem anderen Tool als WA?
Irgendwelche Ideen, wie man das überprüft?
EDIT: Jetzt habe ich die Probleme in meinen Berechnungen behoben und bekomme diese Antwort.
$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$
Aber es stimmt immer noch nicht mit der WA-Antwort überein ...
WA Antwort
Welches ist hier richtig?
Antworten
Du hast irgendwo einen Fehler gemacht. Von WA und nach Vereinfachungen sollten Sie haben (was ich bekomme):
$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$
Gib mir Bescheid!
Ich denke, die $24\ln|\tan(\frac{x}{2})|$ ist klar und wir multiplizierten es mit $\frac{1}{64}$ den richtigen Begriff geben.
Schreiben Sie dann die verbleibenden Begriffe (aus WA) wie folgt neu:
$$\frac{1}{64}\big[-\frac{1}{\sin^{4}(\frac{x}{2})}-\frac{6}{\sin^{2}({\frac{x}{2})}}+\frac{1}{\cos^{4}(\frac{x}{2})}+\frac{6}{\cos^{2}({\frac{x}{2})}}\big]$$ $$=\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]+\frac{1}{64}\big[\frac{\sin^{4}(\frac{x}{2})-\cos^{4}(\frac{x}{2})}{\sin^4({\frac{x}{2})\cos^{4}(\frac{x}{2})}}\big].$$
Dann mit $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ und $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ Der erste Begriff wird:
$$\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]=-\frac{3}{32}\big[\frac{\cos(x)}{\frac{\sin^{2}(x)}{4}}\big]=-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.$$
Für den anderen Begriff haben wir (Zähler hat die Form $(A^2-B^2)=(A-B)(A+B)$):
$$-\frac{1}{64}\big[\frac{\cos^{2}(\frac{x}{2})-\sin^2({\frac{x}{2})}}{\frac{\sin^{4}(x)}{2^4}}\big]=-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}.$$
Verwenden $$\frac{1}{\sin^5x}dx=\frac{\sin{x}}{(1-\cos^2x)^3}dx=-\frac{d(\cos{x})}{(1-\cos^2x)^3}$$
Sie rationalisieren durch die einfache Änderung der Variablen $t:=\cos x$::
$$\int\frac{dt}{(1-t^2)^3}.$$
Die partielle Fraktionszersetzung ist
$$\frac3{16(1+t)}-\frac3{16(1-t)}+\frac3{16(1+t)^2}+\frac3{16(1-t)^2}+\frac1{8(1+t)^3}-\frac1{8(1-t)^3}$$ und verursacht keine Schwierigkeiten.
$$\frac3{16}\log(1-\cos^2x)-\frac3{8(1-\cos^2 x)}+\frac{1+\cos^2x}{8(1-\cos^2 x)^2}.$$
Wolfram Alpha stimmt Ihnen zu. Sie haben gerade die Koeffizienten falsch eingegeben, als Sie das mutmaßliche Antiderivativ angegeben haben, das Sie differenzieren möchten. Ich musste mit Klammern experimentieren , um die korrigierte Abfrage zu verstehen.
Ich möchte eine andere Methode vorschlagen: Reduktionsformel für den Cosecant (das wissen Sie $1$ über Sinus ist die Cosecant-Funktion):
$$\int \csc^m(x)\ \text{d}x = -\dfrac{\cos(x)\csc^{m-1}(x)}{m-1} + \frac{m-2}{m-1}\int \csc^{m-2}(x)\ \text{d}x$$
Verwenden Sie es zweimal.
Während des Prozesses müssen Sie den Cosecant selbst integrieren, was ein bekanntes Integral ist:
$$\int \csc(x)\ \text{d}x = -\ln(\cot(x) + \csc(x))$$
Und schließlich ist das Ergebnis:
$$-\frac{1}{64} \csc ^4\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{3}{32} \csc ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{64} \sec ^4\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{32} \sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{8} \log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{3}{8} \log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$$