Lösen einer ODE mit der Methode von Frobenius

Question

Ich wurde mit der Lösung der ODE beauftragt$2xy^{''}-(8x-1)y^{'}+(8x-2)y=0$.

Ich habe versucht, die Frobenius-Methode anzuwenden, habe aber stattdessen einige seltsame Reihen gefunden, von denen ich stark bezweifle, dass sie die richtige Antwort sind (wolframalpha bestätigt.)

Zulassen$$ y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}\\ y^{'}=\sum_{n=0}^\infty a_n(n+r) x^{n+r-1}\\ y^{''}\sum_{n=0}^\infty a_n(n+r)(n+r-1)x^{n+r-2} $$

wir setzen dann y, y' und y'' zurück in die ODE.$$2\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-1}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r-1}-8\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}+8\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r+1}-2\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}=0$$

Für den dritten und fünften Term mit n=k-1 und für den vierten Term mit n=k-2 ergibt sich:$$2\sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)a_kx^{k+r-1}+\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)a_kx^{k+r-1}-8\sum_{k=1}^\infty a_{k-1}x^{k-1+r}+8\sum_{k=2}^\infty a_{k-2}x^{k+r-1}-2\sum_{k=1}^\infty a_{k-1}x^{k+r-1}=0$$

Wenn wir die 'unteren Terme' von k = 0 nehmen, erhalten wir$$ 2r(r-1)+r=0 r=0,1/2 $$

Von hier,$$\left [ 2(k+r)(k+r-1)+(k+r) \right ]a_k-10a_{k-1}+8a_{k-2}=0$$

$$a_k = \frac{10a_{k-1}-8a_{k-2}}{2(k+r)(k+r-1)+(k+r)}\ for\ k\geq 2$$

Das ist natürlich nicht die Antwort, nach der ich gesucht habe. Die Verwendung von r = 0,1/2 ergibt einige schreckliche Ergebnisse.

In Anbetracht dessen, was ist der richtige Weg, dies zu tun, oder wo habe ich einen Fehler gemacht?

Answer 1

Beim Zurücksetzen der Summen in die ODE ist ein Fehler aufgetreten. Das sollte es sein:

$$2\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-1}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r-1}-8\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r}\\+8\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r+1}-2\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}=0.$$

Beachten Sie den zusätzlichen Faktor von$(n+r)$im dritten Semester. Das war dein Fehler. Wir können das obige umschreiben als

$$\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-\frac{1}{2})a_nx^{n+r-1}-4\sum_{n=1}^\infty (n+r-\frac{3}{4})a_{n-1}x^{n+r-1}+4\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n+r-1}=0.$$

Wir erhalten die gleiche Indexgleichung. Ich werde gehen$r=0$und überlasse es Ihnen, die andere Lösung zu tun. Wir haben

$$\sum_{n=0}^\infty n(n-\frac{1}{2})a_nx^{n-1}-4\sum_{n=1}^\infty (n-\frac{3}{4})a_{n-1}x^{n-1}+4\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n-1}=0.$$Gleichsetzung von Begriffen$O(x^0)$Erträge$a_1=2a_0$. Die Gleichsetzung der anderen Terme ergibt die Wiederholungsrelation$$a_n=4\frac{(n-\frac{3}{4})a_{n-1}-a_{n-2}}{n(n-\frac{1}{2})}.$$

Das wirkt immer noch fies, setzt es aber in Wolfram mit ein$a_0=c$und$a_1=2c$Erträge$a_n=\frac{2^nc}{n!}$. Da ist deine schöne Lösung. Wenn Sie dies ohne Wolfram bekommen wollten, ist Induktion Ihr Freund.

Answer 2

Ich weiß nicht, ob Sie gezwungen waren, die Frobenius-Methode zu verwenden, weil das Problem ziemlich einfach ist, wenn Sie es zulassen$y(x)=z(x) \,e^{ax}$. Dies führt zu$$(a-2) \left((2 (a-2) x+1) z(x)+4 x z'(x)\right)+2 x z''(x)+z'(x)=0$$So$a=2$macht$$2 x z''(x)+z'(x)=0$$Verwenden Sie die Reduktion der Ordnung, lösen Sie auf$p(x)=z'(x)$und wieder integrieren.