Multivariate Taylor-Formel (einfachster Fall k = 1)

Question

Dies war ein Satz, der in meinem Kurs Angewandte (Funktions-) Analyse vorgestellt wurde.

Lassen $\Omega$ eine offene Teilmenge von sein $\mathbb{R}^d$, $f: \Omega \to \mathbb{R}$ gehört $C^k(\Omega)$. Lassen$x,y \in \Omega$ so dass das Segment $[x,y] \subset \Omega$. Dann haben wir:$$ f(y) = f(x) + \int_0^1 \sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f(x+t(y-x))(y_j-x_j) dt. $$ Der Beweis beginnt: Betrachten Sie die Funktion $t\in [0,1] \to \phi(t) = f(x+t(y-x))$. Dann nach der Kettenregel$$ \frac{d\phi}{dt} = \sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f(x+t(y-x))(y_j-x_j). $$ Wir integrieren beide Seiten in Bezug auf $t$und nach dem Grundsatz der Analysis ist der Beweis vollständig. (Beachten Sie, dass$f(y)-f(x) = \phi(1) - \phi(0) = \int_0^1 \phi'(t) dt$)

Frage 1: Sicherlich sollten wir bei der Berechnung der Gesamtdifferenzen (unter Kettenregel) erhalten $$ \frac{d\phi(\alpha_1, \dots, \alpha_n)}{dt} = \sum_{j=1}^d \frac{\partial\phi}{\partial\alpha_i} \frac{\partial \alpha_i}{\partial t}, $$ sollte also nicht die obige Formel lauten $$ \frac{d\phi}{dt} = \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(x+t(y-x))}{\partial (x_j+t(y_j-x_j))} \frac{\partial (x_j+t(y_j-x_j))}{\partial t}= \sum_{j=1}^d \partial_{x_j+t(y_j-x_j)} f(x+t(y-x))(y_j-x_j)? $$ Es gibt keinen Grund dafür $\partial_{x_j+t(y_j-x_j)} = \partial_{x_j}$Ich bin also verwirrt über den vorgelegten Beweis.

Frage 2: Im Ausdruck $$ f(y) = f(x) + \int_0^1 \sum_{j=1}^d \partial_{x_j} f(x+t(y-x))(y_j-x_j) dt, $$ Ist der $x_j$ im $\partial_{x_j}$ die j'te Koordinate von $x \in \Omega$? Ich fange an zu vermuten, dass einige Notationen hier nicht stimmen.

Teilantworten (Beantwortung nur einer der Fragen) sind willkommen!

Answer 1

Sie verwechseln die Differenzierungsrichtungen mit dem Bewertungspunkt. Wenn man den Bewertungspunkt zur abstrakten Kettenregel hinzufügt, erhält man$$ \frac{d\phi\big(\alpha_1(t), \ldots, \alpha_n(t)\big)} {dt} = \sum_{i=1}^d \frac{\partial\phi}{\partial x^i} \big(\alpha_1(t), \ldots, \alpha_n(t)\big) \frac{\partial \alpha_i}{\partial t}(t). $$ Die Funktionen $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \! : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ steck dich ein $\phi$auf der linken Seite. Auf der rechten Seite differenzieren Sie zunächst teilweise$\phi$ in dem $i$-th Richtung und dann stecken Sie die$\alpha_i$. Ebenso die Funktion$\alpha_i$ wird zuerst in die (nur) differenziert $t$ Richtung und dann stecken Sie ein $t$. Beachten Sie, dass dies jetzt wirklich funktioniert, wenn Sie den Bewertungspunkt ersetzen$t$ mit noch einer anderen Funktion von $t$, was eine andere Kettenregel ergibt. Für Ihre spezifische Anwendung haben wir$$ \partial_{x_i} f \big(x+t(y-x)\big) = \frac{\partial f}{\partial x^i} \big(x+t(y-x)\big), $$ also sollte man wirklich schreiben $\big( \partial_{x_i} f \big) (x+t(y-x))$ stattdessen, um diese Art von Verwirrung zu vermeiden.