Nichtexistenz dreidimensionaler Zahlen

Question

Ich habe kürzlich mit meinem Studium der Theorie der naiven Lüge von John Stillwell begonnen. Ich versuche, seine historische Argumentation zu den Frühwarnzeichen zu verstehen, dass dreidimensionale Zahlen nicht existieren können. Dies ist ein Auszug aus dem ersten Kapitel von Stillwell.

Wenn wir setzen$z_1 = a_1+ib_1$und$z_2 = a_2+ib_2$, dann sagt die multiplikative Eigenschaft des (quadratischen) Absolutwerts dies aus$({a_1}^2 + {b_1}^2)({a_2}^2 +{b_2}^2)=(a_1a_2 − b_1b_2)^2 +(a_1b_2+a_2b_1)^2$, wie durch Ausarbeitung des Produkts überprüft werden kann$z_1z_2$und sein quadrierter Absolutwert. Diese Identität ist besonders interessant im Fall von ganzen Zahlen$a_1,b_1,a_2,b_2,$weil es besagt, dass (eine Summe von zwei Quadraten) × (eine Summe von zwei Quadraten) = (eine Summe von zwei Quadraten).

Diese Tatsache wurde vor fast 2000 Jahren von Diophantus bemerkt, der einen Fall davon in Buch III, Problem 19, seiner Arithmetica erwähnte. Diophantus hat jedoch nichts über Summen von drei Quadraten gesagt – aus gutem Grund, denn es gibt keine solche Drei-Quadrat-Identität. Zum Beispiel$(1^2 +1^2+1^2)(0^2+1^2+2^2)=3×5=15$, und$15$ist keine Summe von drei ganzzahligen Quadraten. Dies ist ein frühes Warnzeichen dafür, dass es keine dreidimensionalen Zahlen gibt.

Was ist die Grundlage dieser Behauptung? Ich sehe die Trivialität nicht ein, warum das Produkt zweier Summen von drei Quadraten, das immer eine Summe von drei Quadraten ist, eine Voraussetzung für die Existenz dreidimensionaler Zahlen ist.

Answer 1

Angenommen, Sie haben ein System mit Zahlen der Form$\alpha = a + bi + cj$, und eine Formel zur Multiplikation mit zwei Eigenschaften:

1. Der quadrierte Absolutwert$|a + bi + cj|^2 = a^2 + b^2 + c^2$ist multiplikativ; dh$|\alpha \beta|^2 = |\alpha|^2 |\beta|^2$für alle$\alpha, \beta$; und
2. Ob$\alpha$und$\beta$haben dann ganzzahlige Koordinaten$\alpha \beta$tut es auch.

Dann lass$\alpha = 1 + i + j$und$\beta = i + 2j$. Diese haben beide ganzzahlige Koordinaten, also auch ihr Produkt. Der quadrierte absolute Wert ihres Produkts ist$$ |\alpha \beta|^2 = |\alpha|^2 |\beta|^2 = (1^2 + 1^2 + 1^2) (0^2 + 1^2 + 2^2) = 3 \cdot 5 = 15. $$Das Produkt muss also die Form haben$a + bi + cj$wo$a, b, c$sind ganze Zahlen und$a^2 + b^2 + c^2 = 15$, was unmöglich ist. Also muss jedes dreidimensionale Zahlensystem entweder Eigenschaft (1) oder (2) versagen.