Notationsfrage: Matrixerwartungswert?

Question

Ich sehe auf Wikipedia die folgende Aussage

Betrachten Sie eine endliche Folge $\left\{\mathbf{X}_{k}\right\}$ von unabhängigen, zufälligen, selbstadjunkten Matrizen mit Dimension $d$. Definieren

$$\mu_{\min }=\lambda_{\min }\left(\sum_{k} \mathbb{E} \mathbf{X}_{k}\right) \quad \text { and } \quad \mu_{\max }=\lambda_{\max }\left(\sum_{k} \mathbb{E} \mathbf{X}_{k}\right)$$

Was ist die Bedeutung von $\mathbb{E} \mathbf{X}_{k}$? Normalerweise ist dies der Erwartungswert, aber hier verstehe ich ihn nicht. Wir haben$\lambda_{\max}(\cdot)$ so die $\sum_{k} \mathbb{E} \mathbf{X}_{k}$ selbst ist eine Matrix, was bedeutet $\mathbb{E} \mathbf{X}_{k}$ist eine Matrix. Also, was ist es?

Answer 1

Es ist immer noch der erwartete Wert . Explizit eine Zufallsmatrix$X$ ist eine Matrix, deren Einträge jeweils vorhanden sind $X_{ij}$ ist eine Zufallsvariable und der erwartete Wert $\mathbb{E}(X)$ ist die Matrix mit Einträgen die punktweise erwarteten Werte $\mathbb{E}(X_{ij})$.

Abstrakt eine Zufallsvariable $X$definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, P)$ hat eine Erwartung, die durch das Integral definiert ist $\int_{\Omega} X(\omega) \, dP(\omega)$. Dieses Integral ist für Vektorwerte sinnvoll$X$ Werte aufnehmen in $\mathbb{R}^n$ (wobei es nur das punktweise Integral jedes Koeffizienten von ist $X$) und allgemeiner für $X$Werte in einem Banach-Raum nehmen .