Numerisches Konturintegral

Question

Ich versuche das Doppelintegral für fest zu berechnen $m,z>0$::

  (2Pi I)^{-1} Integrate[(Gamma[y/2] Sqrt[Gamma[3 - y]/Gamma[y]])/
  Gamma[(3 - y)/2] z^(3 - y)
   (Exp[-m x] - 1) x^(y - 3)/x, {x, 0, ∞},{y, 
  3/2 - I ∞, 3/2 + I ∞}]

Das Integral vorbei $x$ kann analytisch durchgeführt werden und das Ergebnis hängt vom Produkt ab $mz$Es gibt also effektiv nur einen Parameter. Das$x$ Integral muss in zwei Regionen aufgeteilt werden, die ich vermute, und in einer Region die Kontur der $y$Integral müsste deformiert werden, damit es konvergent bleibt. Seit der$y$ Integral beinhaltet komplizierte Astschnitte, ich wollte es numerisch für eine Reihe von machen können $mz$, um mindestens ein paar Stellen Präzision zu erhalten. Ich habe Schwierigkeiten, numerisch stabile Ergebnisse zu erzielen.

Answer 1

Ich glaube nicht, dass dieses Integral konvergiert: nur das betrachten $x$-Integration,

Assuming[m > 0 && z > 0 && Element[q, Reals], 
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2] /.
            y->3/2+I*q,
            {x, 0, ∞}]]

(*    diverges    *)

Es scheint nur zu konvergieren, wenn $\text{Re}(y)$ ist in der Pause $[2,3]$::

Assuming[m > 0 && z > 0,
  Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*
            Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
            {x, 0, ∞}]]

(*    (m^(3-y)*z^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]
      if 2 < Re[y] < 3                                                                  *)

Mit diesem letzteren Ergebnis:

f[m_, z_, y_] = 
  Assuming[m > 0 && z > 0 && 2 < Re[y] < 3, 
    Integrate[((E^(-m*x)-1)*x^(y-4)*z^(3-y)*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2],
              {x, 0, ∞}]]

(*    ((m*z)^(3-y)*Gamma[y-3]*Gamma[y/2]*Sqrt[Gamma[3-y]/Gamma[y]])/Gamma[(3-y)/2]    *)

wir können das gewünschte Integral definieren als

F[mz_?NumericQ, Ry_?NumericQ] := 
  2*I*NIntegrate[Re[f[mz, 1, Ry + I t]], {t, 0, ∞}]

Verwendung einiger Symmetrien von f: es kommt nur auf das Produkt an$m\cdot z$, nicht auf $m$ und $z$individuell; es ist symmetrisch in$t$ so können wir das Integral auf beschränken $[0,∞)$(aber nimm es zweimal); und das Ergebnis wird rein imaginär sein, so dass wir nur den Realteil des Integranden integrieren.

Wir können nun zum Beispiel das Ergebnis zeichnen für Ry = Re[y] = 5/2: (Zeichnen des Imaginärteils)

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]

Wir können abenteuerlustig sein und Ry = Re[y] = 3/2durch analytische Fortsetzung gesetzt werden:

Plot[F[mz, 5/2]/I, {mz, 0, 10}]