Offene Mengendefinitionen

Question

Ich habe in meinem zweiten Semester einen echten Analysekurs belegt. Wir haben über metrische Räume von Baby Rudin studiert. Insofern wurde klar definiert, dass für metrische Räume eine Menge offen ist, wenn wir für jeden Punkt darin eine Nachbarschaft dieses Punktes finden können, die vollständig innerhalb dieser Menge liegt.

Jetzt, in meinem vierten Semester, nehme ich an einem Kurs in Einführungstopologie teil. Wir folgen Munkres. In dem Buch ist es gegeben, dass wenn eine Teilmenge$U$ gehört zu einer Topologie einer Menge $X$, dann $U$ ist offen in $X$.

Ich bin wirklich verwirrt zwischen den beiden, da sie austauschbar verwendet werden. Kann jemand bitte erklären, ob beide Definitionen gleichwertig sind oder nicht?

Answer 1

In einem metrischen Raum ist eine Menge geöffnet, wenn sie Mitglied der (impliziten) Topologie ist, die aus allen Mengen besteht, die wie Sie über die Nachbarschaften beschrieben werden. Die Topologie (als eine Menge offener Mengen) wird nicht explizit erwähnt, ist aber vorhanden.

Der äquivalente Begriff in einem beliebigen topologischen Raum ist der einer Topologie, die von einer Basis erzeugt wird: Eine Basis ist eine Menge von Elementen der Topologie, so dass ein beliebiges Element gegeben ist $U$ der Topologie und jeder $x\in U$gibt es eine $B$ in der Basis so, dass $x\in B\subseteq U$. Die gegebene Basis für einen metrischen Raum ist die Menge aller offenen Kugeln.

Answer 2

Wenn man metrische Räume studiert, erkennt man schnell die grundlegende Rolle, die die offenen Mengen spielen (wie im ursprünglichen Beitrag definiert).

Dies wird durch Ergebnisse bestätigt, die zeigen, dass mehrere andere wichtige Begriffe allein in Form offener Mengen formuliert werden können (ohne Berücksichtigung der Metrik).

Zum Beispiel: Eine Funktion ist stetig, wenn das inverse Bild jeder offenen Menge offen ist; Eine Sequenz konvergiert zu einem Punkt$a$iff jeder offene Satz enthält$a$ enthält schließlich alle Punkte der Sequenz.

Dies lässt vermuten, dass die Metrik verfügbar ist. Wenn man also weiß, welche Mengen offen sind und sonst nichts, kann man große Teile der Theorie ungehindert entwickeln.

Dies ist die Idee hinter der Definition einer Topologie, bei der man, wenn man eine Metrik ignoriert, eine Sammlung von Mengen postuliert, um die offenen Mengen aufzurufen.