Operatornorm eines hermiteschen Operators

Question

Ich möchte das folgende in Sadri Hassani erwähnte Ergebnis beweisen:

Die erste Ungleichung, dh$|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$ist direkt aus der Definition der Norm eines Operators. Für die umgekehrte Ungleichung erwähnte der Autor das folgende Verfahren.

Ich kann nicht herausfinden, wie sie die Ungleichung mit dem obigen Ergebnis erhalten haben. Außerdem denke ich, dass das Ergebnis für$4\langle Hx|y\rangle $sollte eine haben$-i$Anstatt von$i$in der Gleichheit.

Answer 1

Mit den Auswahlmöglichkeiten für$x$und$y$, du hast das$\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, also reduziert sich die Gleichheit auf$$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$Ebenfalls,$\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Dann, unter Verwendung der Parallelogrammidentität,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}