OPEs von Exponentialen

Question

Gegeben sei ein holomorphes Feld$H(z)$mit OP:$$H(z)H(0)\sim -\ln z$$Was ist der intelligenteste Weg, um die OPEs der Exponentialoperatoren zu berechnen?$e^{\pm iH(z)}$, gegeben wie folgt?$$e^{iH(z)}e^{-iH(0)} \sim \frac{1}{z},$$ $$e^{iH(z)}e^{iH(0)} \sim 0,$$ $$e^{-iH(z)}e^{-iH(0)} \sim 0.$$Soll ich erweitern$\exp$und semesterweise? Oder gibt es einen intelligenteren Weg, es zu tun?

Answer 1

Hinweise:

1. Beachten Sie, dass es implizit eine radiale Reihenfolge gibt${\cal R}$und normale Reihenfolge$::$an verschiedenen Stellen in den Gleichungen von OP.

2. Ausgangspunkt ist die 2-Punkte-Beziehung$$\begin{align}{\cal R}(A(z)B(w)) ~-~:A(z)B(w): ~=~& C(z,w)~{\bf 1}, \cr C(z,w)~\equiv~&\langle \Omega | {\cal R}(A(z)B(w))|\Omega\rangle,\end{align} \tag{1} $$vgl. dieser Phys.SE-Beitrag.

3. Das relevante Wicksche Theorem ist ein verschachteltes Wicksches Theorem$$ \begin{align} {\cal R}(:e^{A(z)}::e^{B(w)}:)~=~&\exp\left( C(z,w)\frac{\partial}{\partial A(z)}\frac{\partial}{\partial B(w)}\right): e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&\ldots~=~e^{C(z,w)}: e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&e^{C(z,w)}\left(: e^{A(w)+B(w)}:~+~{\cal O}(z\!-\!w)\right) ,\end{align} \tag{2}$$vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .