Pendeln Elemente zweier abelscher normaler Untergruppen?

Question

Damit $H$ und $K$sind normale abelsche Untergruppen einer Gruppe. Ist es für alle wahr?$h \in H$ und für alle $k \in K$ Das $hk=kh$? Ich glaube nicht, dass die Aussage gültig ist, aber ich kann kein (ziemlich einfaches) Gegenbeispiel finden.

Answer 1

Lassen $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ sei die Quaternionsgruppe der Ordnung $8$. Erwägen$H=\{\pm1,\pm i\}$ und $K=\{\pm1,\pm j\}$.

Answer 2

Das einfachste Gegenbeispiel ist die Diedergruppe $D_8$, sagen generiert von $a$ der Ordnung $4$ und $b$ der Ordnung $2$. Jedes Element von$D_8$ liegt in einer normalen Untergruppe der Ordnung $4$:: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ und $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Diese sind natürlich alle abelisch, da sie Ordnung haben$4$. Wenn Ihre Aussage zutrifft, dann$D_8$ wäre also abelisch, was natürlich nicht ist.

Das Beispiel von $Q_8$von den anderen beiden Antworten ist natürlich vollkommen gültig. In der Tat, wenn$G$ ist eine nicht-abelsche Ordnungsgruppe $p^3$ dann liegt jedes Element in einer Untergruppe der Ordnung $p^2$ (was notwendigerweise abelisch und normal ist), und so jede nicht-abelsche Ordnungsgruppe $p^3$ ist ein Gegenbeispiel.

Answer 3

Jede Hamilton-Gruppe gibt Ihnen per Definition ein Gegenbeispiel, da jede zyklische Untergruppe abelisch und normal ist. Sie können jedoch zwei zyklische Untergruppen mit Generatoren finden, die nicht pendeln.

Das kleinste Beispiel dieser Art ist die Quaternionsgruppe $Q_8$.