Pendeln kovariante Derivate?
Lassen $M$ sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, lass $f:M\rightarrow\mathbb{R}$ sei glatt und lass $v,w$ Vektorfelder in sein $M$. Muss es wahr sein, dass$\nabla_w(\nabla_vf) = \nabla_v(\nabla_wf)$ wo $\nabla$bezeichnet das kovariante Derivat? Wenn ja, hätte ich gerne einen Beweis und wenn nicht ein Gegenbeispiel. Um diese Frage zu motivieren, scheint es mir auch, dass man dies unabhängig von der Auswahl einer Riemannschen Metrik stellen kann. Aus diesem Grund sollte man, wenn man ein Gegenbeispiel hätte, in der Lage sein, eine beliebige Metrik auf den Raum zu setzen (insbesondere eine flache Metrik), die zu nicht pendelnden Ableitungen für eine reibungslose Funktion in führen würde$\mathbb{R}^n$was nie passiert. Aus diesem Grund vermute ich, dass diese Gleichheit gelten muss, bin mir aber immer noch nicht sicher.
Der Grund, warum ich denke, dass man diese Gleichheit fragen kann, ohne eine Metrik zu wählen, ist nach meinem Verständnis $\nabla_vf$ wird unabhängig von der Metrik definiert und ergibt eine Funktion aus $M\rightarrow\mathbb{R}$. Das heißt, die kovariante Ableitung einer Funktion von der Mannigfaltigkeit zu den Realwerten in Bezug auf ein Vektorfeld ist selbst eine Funktion von der Mannigfaltigkeit zu den Realwerten, und dies wird unabhängig von der Metrik definiert.
Deshalb denke ich, dass die kovariante Ableitung unabhängig von der Metrik definiert ist. Angenommen, Sie haben ein Vektorfeld$v$ und real geschätzte Funktion $f$auf dem Verteiler. Um die kovariante Ableitung an einem Punkt zu erhalten$p$ wir nehmen den Vektor des Vektorfeldes $v$ beim $p$ (Nennen Sie diesen Vektor $v_p$) und wir betrachten eine Funktion aus $\phi:\mathbb{R}\rightarrow M$ so dass $\frac{d}{dt}\phi(t) = v_p$. Dann wird die kovariante Ableitung definiert als$\frac{d}{dt} f(\phi(t))$ Das ist eine echte weil $f\circ\phi$ ist eine Karte von $\mathbb{R}$ zu $\mathbb{R}$. Die in dieser Definition erforderliche Metrik ist zu keinem Zeitpunkt erforderlich. Ich glaube auch nicht, dass sich die Verwendung der Metrik in der Definition der Ableitung einer Karte von den Reals zur Mannigfaltigkeit verbirgt, da ein Tangentenvektor als eine Äquivalenzklasse von Funktionen von den Realen zur Mannigfaltigkeit definiert werden kann, die alle haben die gleiche Ableitung, wenn sie durch ein Diagramm des glatten Verteilers geführt wird.
Es ist sehr wahrscheinlich, dass meine Verwirrung auf ein Missverständnis zurückzuführen ist, das in meiner obigen Erklärung enthalten ist. In diesem Fall weisen Sie mich bitte darauf hin. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, diesen Beitrag zu lesen.
Antworten
Es ist falsch: nimm $M=\mathbb{R}^2$, $v(x,y)=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}$, $w(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}$ und $f(x,y)=x^2+y^2$. Dann:$$\nabla_vf(x,y)=-2yx+2xy=0$$ und somit $$\nabla_w(\nabla_vf)(x,y)=0,$$ aber $$\nabla_wf(x,y)=2x$$ und $$\nabla_v(\nabla_wf)(x,y)=-2y\neq 0$$ zum $y\neq 0$.
Wie Sie erwartet haben, hat dies nichts mit einer Metrik zu tun: Die Verbindung zwischen kovarianter Ableitung und üblicher Ableitung besteht darin, dass, sobald Sie mit einer affinen Verbindung auf Ihrem Verteiler beginnen, Verbindungen auf allen Tensorbündeln induziert werden, die einige Eigenschaften bezüglich der Verbindung überprüfen, mit der Sie begonnen haben . Eine dieser Eigenschaften ist, dass sie mit der üblichen Ableitung auf dem übereinstimmt$(0,0)$-Formen, die genau sagen, dass wir Funktionen haben $\nabla_vf=vf=df(v)$ (Wählen Sie hier Ihre Lieblingsnotation).
Kovariante Derivate pendeln weiter $M$ genau dann, wenn die Krümmung verschwindet.
Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass dies a priori nichts mit Metrik zu tun hat. Wenn Sie jedoch eine "flache Metrik" erwähnen, stellen Sie bereits eine Verbindung zwischen der affinen Struktur (Krümmung) und der metrischen Struktur des Verteilers ein. Beispielsweise muss die affine Verbindung metrisch kompatibel sein. Entweder haben Sie, dass die Krümmung irgendwie mit der Metrik zusammenhängt, und dann können Sie eine Metrik nicht einfach "aufnehmen", oder die Krümmung ist nicht verwandt, dann sind die Wörter "flache Metrik" bedeutungslos.
Es wird hilfreich sein, eine Indexnotation zu verwenden. Ein Vektorfeld$u^a$ befriedigt $[\nabla_a,\,\nabla_b]u_c=R_{abcd}u^d$mit $R_{abcd}$der Riemannsche Krümmungstensor. (Der Kommutator eines höherrangigen Tensors enthält einen solchen Term für jeden Index, z$[\nabla_a,\,\nabla_b]T_{ce}=R_{abcd}T^d_{\:e}+R_{abc}^{\quad e}T_{ed}$.) Damit$$\begin{align}[\nabla_v,\,\nabla_w]u_c&=[v^a\nabla_a,\,w^b\nabla_b]u_c\\&=(v^a\nabla_aw^b)\nabla_bu_c-(w^b\nabla_bv^a)\nabla_au_c+v^aw^b[\nabla_a,\,\nabla_b]u_c\\&=(v^a\nabla_aw^b-w^a\nabla_av^b)\nabla_bu_c+v^aw^bR_{abcd}u^d\\&=\nabla_{£_vw}u_c+v^aw^bR_{abcd}u^d.\end{align}$$